设正整数的无穷数列 $\{a_n\}$（$n \in \mathbb N^*$）满足：$a_4=4$，$a_n^2-a_{n-1}a_{n+1}=1$（$n \geqslant 2$），求 $\{a_n\}$ 的通项公式．
【难度】
【出处】
2010年全国高中数学联赛江苏省复赛（加试）
【标注】
【答案】
$a_n=n$（$n \in \mathbb N^*$）
【解析】
由已知得$$\dfrac {a_n}{a_{n+1}}>\dfrac {a_{n-1}}{a_n}.$$若有某个 $n$，使 $\dfrac {a_{n-1}}{a_n}\geqslant 1$，则 $a_n >a_{n+1}$，从而$$a_{n-1} \geqslant a_n >a_{n+1}>a_{n+2}>\cdots,$$因为 $\{a_n\}$（$n \in \mathbb N^*$）是正整数的无穷数列，这显然不可能，故数列 $\{a_n\}$ 中的项是严格递增的．
由 $a_4=4$ 可知，$$a_1=1 , a_2=2 , a_3=3,$$于是由 $\{a_n\}$ 的递推公式及数学归纳法知 $a_n=n$（$n \in \mathbb N^*$）．
显然数列 $\{n\}$（$n \in \mathbb N^*$）满足要求，故所求的正整数无穷数列为 $\{n\}$（$n \in \mathbb N^*$）．
由 $a_4=4$ 可知，$$a_1=1 , a_2=2 , a_3=3,$$于是由 $\{a_n\}$ 的递推公式及数学归纳法知 $a_n=n$（$n \in \mathbb N^*$）．
显然数列 $\{n\}$（$n \in \mathbb N^*$）满足要求，故所求的正整数无穷数列为 $\{n\}$（$n \in \mathbb N^*$）．
答案
解析
备注
