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求具有下述性质的最小正整数 $n$：存在一个 $n+1$ 项的数列 $a_0,a_1,\cdots,a_n$，满足 $a_0=0,a_n=2008$，且 $|a_i-a_{i-1}|=i^2,i=1,2,\cdots,n$．
【难度】
【出处】
2008年全国高中数学联赛江苏省复赛（二试）
【标注】
  • 数学竞赛
    >
    数列
    >
    数列不等式
【答案】
$19$
【解析】
情形一 若 $n\leqslant17$，则\[\begin{split}a_n&=\sum\limits_{i=1}^{n}{(a_i-a_{i-1})}+a_0\\&\leqslant\sum\limits_{i=1}^{n}{|a_i-a_{i-1}|}\\&=\dfrac16n(n+1)(n+2)\\&\leqslant\dfrac16\cdot17\cdot18\cdot35\\&<2008,\end{split}\]与 $a_n=2008$ 矛盾．
情形二 若 $n=18$，则$$a_n=\sum\limits_{i=1}^{n}{(a_i-a_{i-1})}+a_0\equiv\sum\limits_{i=1}^{n}{|a_i-a_{i-1}|}\equiv\sum\limits_{i=1}^{n}{i^2}\equiv1\pmod{2},$$这与 $a_n=2008$ 矛盾．
情形三 若 $n=19$，注意到$$2008=1^2+2^2+\cdots+19^2-2(2^2+5^2+9^2+11^2),$$取 $a_0,a_1,\cdots,a_{19}$ 为$$0,-1,-3,6,22,-3,33,82,146,65,165,44,188,357,553,778,1034,1323,1647,2008,$$由此知 $n=19$ 可行．
综上可知，$n$ 的最小值为 $19$．
答案 解析 备注
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