给定正整数 $n$，对于满足 $a_1^2+a_{n+1}^2\leqslant\dfrac25$ 的等差数列 $\{a_n\}$，试证明：$\displaystyle \sum\limits_{i=n+1}^{2n+1}{a_i}\leqslant n+1$．
【难度】
【出处】
2012年全国高中数学联赛吉林省预赛
【标注】
【答案】
略
【解析】
由已知得\[\begin{split}\sum\limits_{i=n+1}^{2n+1}{a_i}&=\dfrac{(n+1)(a_{n+1}+a_{2n+1})}{2}\\&=\dfrac{(n+1)(3a_{n+1}-a_1)}{2}\\&\leqslant\dfrac{n+1}{2}\sqrt{(a_1^2+a_{n+1}^2)[3^2+(-1)^2]}\\&\leqslant\dfrac{n+1}{2}\sqrt{10\cdot\dfrac25}\\&=n+1.\end{split}\]
答案
解析
备注
