题目 设 $\alpha,\beta$ 为实数，$n$ 为正整数，且 $0\leqslant \beta\leqslant \alpha\leqslant \dfrac{\pi}{4}$，$n>1$． 问题1 证明：$\dfrac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan^{2}\alpha}\leqslant \alpha-\beta$，并判断等号成立的条件； 答案1 略 解析1 令 $f(\beta)=\dfrac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan^{2}\alpha}-(\alpha-\beta)$，则只需证 $f(\beta)\leqslant 0$．<br/>注<br/>意到\[f'(\beta)=-\dfrac{1+\tan^{2}\beta}{1+\tan^{2}\alpha}+1\geqslant 0,\]可见函数 $f$ 在区间 $[0,\alpha]$ 上为增函数，从而有$$f(\beta)\leqslant f(\alpha)=0.$$进一步，当 $\beta\ne \alpha$ 时，$f'(\beta)>0$，所以 $f(x)$ 在 $[0,\alpha]$ 上严格递增．因此等号成立当且仅当 $\beta=\alpha$． 备注1 问题2 证明：$\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{1}{n^{2}+k^{2}}<\dfrac{\pi}{4n}$． 答案2 略 解析2 注意到 $g(x)=\dfrac{1}{1+x^{2}}$ 在 $[0,1]$ 上单调递减，所以由定积分的几何意义可知$$\displaystyle \int_{0}^{1}g(x){\rm d}x>\sum\limits_{k=1}^{n}\cdot \dfrac{1}{n}\cdot g\left(\dfrac{k}{n}\right).$$两端分别化简就得到原不等式． 备注2