题目 对数列 $\{a_n\}$，规定 $\{\Delta a_n\}$ 为数列 $\{a_n\}$ 的一阶差分数列，其中 $\Delta a_n=a_{n+1}-a_n,n\in\mathbb N^*$，对正整数 $k$，规定 $\{\Delta^k a_n\}$ 为 $\{a_n\}$ 的 $k$ 阶差分数列．其中 $\Delta^ka_n=\Delta^{k-1}a_{n+1}-\Delta^{k-1}a_n=\Delta(\Delta^{k-1}a_n)$． 问题1 若数列 $\{a_n\}$ 首项 $a_1=1$，且满足$$\Delta^2a_n-\Delta a_{n+1}+a_n=-2^n,$$求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式； 答案1 $a_n=n\cdot2^{n-1},n\in\mathbb N^*$ 解析1 因为$$\Delta^2a_n-\Delta a_{n+1}+a_n=-2^n,$$而$$\Delta^2a_n=\Delta a_{n+1}-\Delta a_n,$$所以$$\Delta a_n-a_n=2^n,$$因此$$a_{n+1}-a_n=2^n\cdot\dfrac{a_{n+1}}{2^{n+1}}-\dfrac{a_n}{2^n}=\dfrac12,$$所以 $\left\{\dfrac{a_n}{2^n}\right\}$ 是首项为 $\dfrac12$，公差为 $\dfrac12$ 的等差数列，因此$$\dfrac{a_n}{2^n}=\dfrac12+(n-1)\cdot\dfrac12,$$即 $a_n=n\cdot2^{n-1},n\in\mathbb N^*$． 备注1 问题2 对 $(1)$ 中的数列 $\{a_n\}$，是否存在等差数列 $\{b_n\}$，使得$$b_1\mathrm{C}_n^1+b_2\mathrm{C}_n^2+\cdots+b_n\mathrm{C}_n^n=a_n,$$对一切正整数 $n\in\mathbb N^*$ 都成立？若存在，求数列 $\{b_n\}$ 的通项公式；若不存在，请说明理由； 答案2 存在 $b_n=n$ 解析2 由 $(1)$ 知，题中等式即$$b_1\mathrm{C}_n^1+b_2\mathrm{C}_n^2+\cdots+b_n\mathrm{C}_n^n=n\cdot2^{n-1}.$$．因为$$k\mathrm{C}_{n}^{k}=n\cdot\mathrm{C}_{n-1}^{k-1},$$所以\[\begin{split}\mathrm{C}_n^1+2\mathrm{C}_n^2+\cdots+n\mathrm{C}_n^n&=n\mathrm{C}_{n-1}^0+n\mathrm{C}_{n-1}^{1}+\cdots+n\mathrm{C}_{n_1}^{n-1}\\&=n\left(\mathrm{C}_n^0+\mathrm{C}_n^1+\cdots+\mathrm{C}_{n-1}^{n-1}\right)\\&=n\cdot2^{n-1},\end{split}\]故可得 $b_n=n$．<br/>因此存在等差数列 $\{b_n\}$，$b_n=n$ 满足题意． 备注2 问题3 令 $c_n=(2n-1)b_n$，设$$T_n=\dfrac{c_1}{a_1}+\dfrac{c_2}{a_2}+\cdots+\dfrac{c_n}{a_n},$$若 $T_n<M$ 恒成立，求最小的正整数 $M$ 的值． 答案3 略 解析3 由 $(2)$ 结合错位相减法，得\[\begin{split}T_n&=\dfrac11+\dfrac32+\dfrac{5}{2^2}+\cdots+\dfrac{2n-1}{2^{n-1}},\\\dfrac12T_n&=\dfrac12+\dfrac{3}{2^2}+\dfrac{5}{2^3}+\cdots+\dfrac{2n-3}{2^{n-1}}+\dfrac{2n-1}{2^n},\end{split}\]两式相减，得$$\begin{split}\dfrac12T_n&=1+\left(1+\dfrac12+\dfrac{1}{2^2}+\cdots+\dfrac{1}{2^{n-2}}\right)-\dfrac{2n-1}{2^n}\\&=3-\dfrac{1}{2^{n-2}}-\dfrac{2n-1}{2^n},\end{split}$$所以$$T_n=6-\dfrac{1}{2^{n-3}}-\dfrac{2n-1}{2^{n-1}}<6.$$容易知道数列 $\{T_n\}$ 单调递增，且$$T_6=6-\dfrac{1}{2^3}-\dfrac{11}{2^5}>5,$$所以满足条件最小的正整数 $M$ 的值为 $6$． 备注3