把正整数数列 $1,2,3,\cdots$ 中含有数字 $9$ 的项都删除掉，剩下的项按原次序组成一个数列，记作 $a_1,a_2,\cdots,a_n,\cdots$．证明：$$\dfrac {1}{a_1}+\dfrac {1}{a_2}+\dfrac {1}{a_3}+\cdots+\dfrac {1}{a_n}<80.$$
【难度】
【出处】
2010年全国高中数学联赛陕西省预赛（二试）
【标注】
【答案】
略
【解析】
因为由 $1$ 到 $10^n$ 的自然数中含有数字 $9$ 的数的个数是 $10^n- 9^{n}$，所以从 $1$ 到 $10^n$ 中不含有数字 $9$ 的自然数的个数是 $ 9^{n}$，从而由 $10^{n-1} $ 到 $10^n-1$ 的自然数中不含有数字 $9$ 的数的个数是 $8\times 9^{n-1}$．
设由 $10^{n-1} $ 到 $10^n-1$ 的自然数中不含有数字 $9$ 的数的倒数之和为 $S_n$，则$$S_n<8\times 9^{n-1}\times \dfrac {1}{10^{n-1}}=8\times \left(\dfrac {9}{10}\right)^{n-1}.$$对任意的正整数 $n$，总存在正整数 $m$，使得$$10^{m-1} \leqslant n <10^{m},$$故\[\begin{split}\dfrac {1}{a_1}+\dfrac {1}{a_2}+\dfrac {1}{a_3}+\cdots+\dfrac {1}{a_n}&<S_1+S_2+\cdots+S_m\\&=8\left[1+\dfrac {9}{10}+\left(\dfrac {9}{10}\right)^2+\cdots+\left(\dfrac {9}{10}\right)^{m-1}\right]\\&=8\times \dfrac {1-\left(\dfrac {9}{10}\right)^m}{1-\dfrac {9}{10}}\\&=80-80\times \left(\dfrac {9}{10}\right)^m<80.\end{split}\]
设由 $10^{n-1} $ 到 $10^n-1$ 的自然数中不含有数字 $9$ 的数的倒数之和为 $S_n$，则$$S_n<8\times 9^{n-1}\times \dfrac {1}{10^{n-1}}=8\times \left(\dfrac {9}{10}\right)^{n-1}.$$对任意的正整数 $n$，总存在正整数 $m$，使得$$10^{m-1} \leqslant n <10^{m},$$故\[\begin{split}\dfrac {1}{a_1}+\dfrac {1}{a_2}+\dfrac {1}{a_3}+\cdots+\dfrac {1}{a_n}&<S_1+S_2+\cdots+S_m\\&=8\left[1+\dfrac {9}{10}+\left(\dfrac {9}{10}\right)^2+\cdots+\left(\dfrac {9}{10}\right)^{m-1}\right]\\&=8\times \dfrac {1-\left(\dfrac {9}{10}\right)^m}{1-\dfrac {9}{10}}\\&=80-80\times \left(\dfrac {9}{10}\right)^m<80.\end{split}\]
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解析
备注
