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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
15748 59084dfd060a05000bf29220 高中 解答题 高中习题 求所有使得 $p^{q+1}+q^{p+1}$ 为完全平方数的质数 $p$ 和 $q$． 2022-04-17 19:35:16
15660 591006f7857b420007d3e613 高中 解答题 自招竞赛 设 ${z_1},{z_2},{z_3},{z_4}$ 是复平面单位圆上的四点，若 ${z_1} + {z_2} + {z_3} + {z_4} = 0$．求证：这四个点组成一个矩形． 2022-04-17 19:46:15
15652 59111e5440fdc7000841c76e 高中 解答题 自招竞赛 设复数 ${z_1} , {z_2}$ 满足：$\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_1} + {z_2}} \right|$，$\overline{z_1}z_2=a(1+\sqrt 3{\mathrm i})$，其中 ${\mathrm{i}}$ 是虚数单位，$a$ 是非零实数，求 $\dfrac{{{z_2}}}{{{z_1}}}$． 2022-04-17 19:41:15
15645 59118479e020e70007fbeb37 高中 解答题 自招竞赛 已知 $|z| = 1$，求 $|{z^2} + z + 4|$ 的最小值． 2022-04-17 19:36:15
15580 59369535c2b4e70009388258 高中 解答题 高中习题 设复数 $z$ 满足 $|z|=1$，求 $\left|z^3-3z-2\right|$ 的取值范围． 2022-04-17 19:57:14
15501 5966fde0030398000abf1563 高中 解答题 自招竞赛 确定所有的复数 $\alpha$，使得对任意复数 $z_1$，$z_2$，（$|z_1|,|z_2|<1,z_1\neq z_2$），均有$$(z_1+\alpha)^2+\alpha \overline {z_1}\neq (z_2+\alpha)^2+\alpha \overline {z_2}.$$ 2022-04-17 19:13:14
15496 59681b230303980008983dac 高中 解答题 自招竞赛 已知有理数数列 $\{a_n\}$（$n = 0, 1, 2, \cdots$）满足 $a_n=\alpha x_1^n+\beta x_2^n \neq 0$（$n = 0, 1, 2, \cdots$），其中 $\alpha$，$\beta$ 为实数，$x_1,x_2\in \mathbb C$（$\mathbb C$ 为复数集），且 $x_1x_2=1$．证明： 2022-04-17 19:11:14
15457 596dcbeabe56b50009042196 高中 解答题 自招竞赛 求最小正整数 $n$ 使得 $n^2+n+24$ 可被 $2010$ 整除． 2022-04-17 19:51:13
15417 597e8059d05b90000b5e304b 高中 解答题 高中习题 已知 $z_1,z_2,z_3\in{\mathbb C}$，$a,b,c\in{\mathbb R}$，满足 $\left|z_1\right|=\left|z_2\right|=\left|z_3\right|=1$，且 $\dfrac{z_1}{z_2}+\dfrac{z_2}{z_3}+\dfrac{z_3}{z_1}=1$，求 $\left|az_1+bz_2+cz_3\right|$ 的所有可能取值． 2022-04-17 19:29:13
15413 597e8cd3d05b90000b5e3097 高中 解答题 高中习题 利用方程 ${z^n} = 1$ 的复数根的特点，证明：$$\begin{split}\cos {\theta _0} + \cos \left( {{\theta _0} + \dfrac{{2{\rm{\pi }}}}{n}} \right) + \cos \left( {{\theta _0} + \dfrac{{4{\rm{\pi }}}}{n}} \right) + \cdots + \cos \left( {{\theta _0} + \dfrac{{2\left( {n - 1} \right){\rm{\pi }}}}{n}} \right) = 0,
\\\sin {\theta _0} + \sin \left( {{\theta _0} + \dfrac{{2{\rm{\pi }}}}{n}} \right) + \sin \left( {{\theta _0} + \dfrac{{4{\rm{\pi }}}}{n}} \right) + \cdots + \sin \left( {{\theta _0} + \dfrac{{2\left( {n - 1} \right){\rm{\pi }}}}{n}} \right) = 0.\end{split}$$		 2022-04-17 19:27:13
15322 59b7323cb049650007283188 高中 解答题 自招竞赛 设复数 $z_1,z_2$ 满足 ${\rm Re}(z_1)>0,{\rm Re}(z_2)>0$，且 ${\rm Re}(z_1^2)={\rm Re}(z_2^2)=2$，其中 ${\rm Re}(z)$ 表示复数 $z$ 的实部． 2022-04-17 19:37:12
15278 5a67f59b6603190007665598 高中 解答题 自招竞赛 已知 $p$ 是大于 $3$ 的素数．求 $\displaystyle \prod \limits_{k=1}^{p}\left(1+2\cos \dfrac {2k\pi}{p}\right)$ 的值． 2022-04-17 19:15:12
15271 5c6a3ed1210b281db9f4c712 高中 解答题 自招竞赛 方程 ${{z}^{6}}+{{z}^{3}}+1=0$ 有一个复数根，在复平面上这个根的辐角 $\theta $ 在 $90{}^\circ $ 和 $180{}^\circ $ 之间，求 $\theta $ 的度数． 2022-04-17 19:11:12
15265 5c6a44b4210b281dbaa9336c 高中 解答题 自招竞赛 如果 $a$，$b$，$c$ 是正整数，满足 $c={{\left( a+b\text{i} \right)}^{3}}-107\text{i}$，求 $c$（其中 ${{\text{i}}^{2}}=-1$）． 2022-04-17 19:08:12
15245 5c6b70c7210b281db9f4c870 高中 解答题 自招竞赛 集合 $A=\left\{ z|{{z}^{18}}=1 \right\}$ 和 $B=\left\{ \omega |{{\omega }^{48}}=1 \right\}$ 都是1的单位根的集合，集合 $C=\left\{ z\omega |z\in A \omega \in B \right\}$ 也是一个1的单位根的集合，集合 $C$ 中有多少个不同的元素？ 2022-04-17 19:57:11
15241 5c6e0883210b281dbaa93581 高中 解答题 自招竞赛 已知方程 ${{x}^{10}}+{{\left( 13x-1 \right)}^{10}}=0$ 有10个复根 ${{r}_{1}}$，$\overline{{{r}_{1}}}$，${{r}_{2}}$，$\overline{{{r}_{2}}}$，${{r}_{3}}$，$\overline{{{r}_{3}}}$，${{r}_{4}}$，$\overline{{{r}_{4}}}$，${{r}_{5}}$，$\overline{{{r}_{5}}}$，${{r}_{i}}$ 与 $\overline{{{r}_{i}}}\left( i=1 2 3 4 5 \right)$ 互为共轭复根．求 $\frac{1}{{{r}_{1}}\overline{{{r}_{1}}}}+\frac{1}{{{r}_{2}}\overline{{{r}_{2}}}}+\frac{1}{{{r}_{3}}\overline{{{r}_{3}}}}+\frac{1}{{{r}_{4}}\overline{{{r}_{4}}}}+\frac{1}{{{r}_{5}}\overline{{{r}_{5}}}}$ 的值． 2022-04-17 19:55:11
15236 5c6e3bea210b281db9f4ca60 高中 解答题 自招竞赛 设 $P$ 是方程 ${{z}^{6}}+{{z}^{4}}+{{z}^{3}}+{{z}^{2}}+1=0$ 的有正虚部的那些根的乘积，并设 $P=r\left( \cos \theta {}^\circ +\text{i}\sin \theta {}^\circ \right)$，这里 $0<r$，$0\leqslant \theta <360{}^\circ $．求 $\theta $． 2022-04-17 19:52:11
15235 5c6f630d210b280151d749cb 高中 解答题 自招竞赛 函数 $f\left( z \right)=\left( a+b\text{i} \right)z$ 是定义在复数集上的函数，其中 $a$，$b$ 均为正数．这个函数具有如下性质：复平面上任意一点的映象到该点与原点的距离相等．已知 $\left| a+b\text{i} \right|=8$ 且 ${{b}^{2}}=\frac{m}{n}$，其中 $m$，$n$ 为互素的正整数，求 $m+n$． 2022-04-17 19:51:11
15223 5c74b839210b284290fc233d 高中 解答题 自招竞赛 多项式 $P\left( x \right)={{\left( 1+x+{{x}^{2}}+\ldots +{{x}^{17}} \right)}^{2}}-{{x}^{17}}$ 有 $34$ 个复数根，它们可以写成
${{z}_{k}}={{r}_{k}}\left( \cos \left( 2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }{{a}_{k}} \right)+\text{i}\sin \left( 2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }{{a}_{k}} \right) \right)$ 的形式，其中 $k=1 2 \ldots 34$，$0{{a}_{1}}\leqslant {{a}_{2}}\leqslant \ldots \leqslant {{a}_{34}}1$，${{r}_{k}}0$ 。设 ${{a}_{1}}+{{a}_{2}}+{{a}_{3}}+{{a}_{4}}+{{a}_{5}}=\frac{m}{n}$，其中 $m$，$n$ 是互素的正整数，求 $m+n$ 。		 2022-04-17 19:45:11
15221 5c74ddab210b284290fc23a9 高中 解答题 自招竞赛 设方程 ${{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+6{{x}^{2}}-4x=2005$ 的所有非实根的积为 $P$，求 $\left[ P \right]$（$\left[ P \right]$ 表示小于或等于 $P$ 的最大正整数）。 2022-04-17 19:45:11
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