函数 $f\left( z \right)=\left( a+b\text{i} \right)z$ 是定义在复数集上的函数，其中 $a$，$b$ 均为正数．这个函数具有如下性质：复平面上任意一点的映象到该点与原点的距离相等．已知 $\left| a+b\text{i} \right|=8$ 且 ${{b}^{2}}=\frac{m}{n}$，其中 $m$，$n$ 为互素的正整数，求 $m+n$．
【难度】
【出处】
1999年第17届美国数学邀请赛（AIME）
【标注】
【答案】
259
【解析】
因为 $\left( a+b\text{i} \right)z$ 到 $z$ 点与到原点的距离相等，所以
$\left| \left( a+b\text{i} \right)z-z\right|=\left| \left( a+b\text{i} \right)z \right|$，
即 $\left|a-1+b\text{i} \right|=\left| a+b\text{i} \right|$ 或 ${{\left( a-1\right)}^{2}}+{{b}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}$．
所以 $a=\frac{1}{2}$．
又由 $\left| a+b\text{i}\right|=8$ 可推出 ${{b}^{2}}=64-\frac{1}{4}=\frac{255}{4}$．
故 $m+n=259$．
$\left| \left( a+b\text{i} \right)z-z\right|=\left| \left( a+b\text{i} \right)z \right|$，
即 $\left|a-1+b\text{i} \right|=\left| a+b\text{i} \right|$ 或 ${{\left( a-1\right)}^{2}}+{{b}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}$．
所以 $a=\frac{1}{2}$．
又由 $\left| a+b\text{i}\right|=8$ 可推出 ${{b}^{2}}=64-\frac{1}{4}=\frac{255}{4}$．
故 $m+n=259$．
答案
解析
备注
