设方程 ${{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+6{{x}^{2}}-4x=2005$ 的所有非实根的积为 $P$，求 $\left[ P \right]$（$\left[ P \right]$ 表示小于或等于 $P$ 的最大正整数）。
【难度】
【出处】
2005年第23届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
45
【解析】
方程的两边同时加1得 ${{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+6{{x}^{2}}-4x+1=2006$，即 ${{\left( x-1 \right)}^{4}}=2006$，故 ${{\left( x-1 \right)}^{2}}=\pm \sqrt{2006}$ 。由于要求是非实根的乘积，故我们只考虑方程 ${{\left( x-1 \right)}^{2}}=-\sqrt{2006}$，即 ${{x}^{2}}-2x+1+\sqrt{2006}=0$ 的根的乘积。由韦达定理，两根之积等于 $1+\sqrt{2006}$，因此 $p=1+\sqrt{2006}$，故 $\left[P \right]=\left[ 1+\sqrt{2006} \right]=45$ 。
答案
解析
备注
