多项式 $P\left( x \right)={{\left( 1+x+{{x}^{2}}+\ldots +{{x}^{17}} \right)}^{2}}-{{x}^{17}}$ 有 $34$ 个复数根，它们可以写成
${{z}_{k}}={{r}_{k}}\left( \cos \left( 2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }{{a}_{k}} \right)+\text{i}\sin \left( 2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }{{a}_{k}} \right) \right)$ 的形式，其中 $k=1 2 \ldots 34$，$0{{a}_{1}}\leqslant {{a}_{2}}\leqslant \ldots \leqslant {{a}_{34}}1$，${{r}_{k}}0$ 。设 ${{a}_{1}}+{{a}_{2}}+{{a}_{3}}+{{a}_{4}}+{{a}_{5}}=\frac{m}{n}$，其中 $m$，$n$ 是互素的正整数，求 $m+n$ 。
${{z}_{k}}={{r}_{k}}\left( \cos \left( 2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }{{a}_{k}} \right)+\text{i}\sin \left( 2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }{{a}_{k}} \right) \right)$ 的形式，其中 $k=1 2 \ldots 34$，$0{{a}_{1}}\leqslant {{a}_{2}}\leqslant \ldots \leqslant {{a}_{34}}1$，${{r}_{k}}0$ 。设 ${{a}_{1}}+{{a}_{2}}+{{a}_{3}}+{{a}_{4}}+{{a}_{5}}=\frac{m}{n}$，其中 $m$，$n$ 是互素的正整数，求 $m+n$ 。
【难度】
【出处】
2004年第22届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
482
【解析】
由于 $p\left( x \right)={{\left(1+x+{{x}^{2}}+\ldots +{{x}^{17}} \right)}^{2}}-{{x}^{17}}=\left( 1+x+\ldots+{{x}^{16}} \right)\left( 1+x+\ldots +{{x}^{18}} \right)$，
故 $P\left( x \right)$ 的所有根为 $1$ 的所有 $17$ 次单位根和 $19$ 次单位根（$1$ 自身除外）。
因此 ${{r}_{1}}={{r}_{2}}=\ldots={{r}_{34}}=1$，$ \left\{ {{a}_{1 }},{{a}_{2}},\ldots,{{a}_{34}} \right\}=\left\{ \frac{1}{17},\frac{2}{17},\ldots,\frac{16}{17},\frac{1}{19},\frac{2}{19},\ldots,\frac{18}{19} \right\}$
故 ${{a}_{1}}=\frac{1}{19}\text{,}{{a}_{2}}=\frac{1}{17}\text{,}{{a}_{3}}=\frac{2}{19}\text{,}{{a}_{4}}=\frac{2}{17}\text{,}{{a}_{5}}=\frac{3}{19}$，因此 ${{a}_{1}}+{{a}_{2}}+{{a}_{3}}+{{a}_{4}}+{{a}_{5}}=\frac{159}{323}$，故 $ m+n=482$ 。
故 $P\left( x \right)$ 的所有根为 $1$ 的所有 $17$ 次单位根和 $19$ 次单位根（$1$ 自身除外）。
因此 ${{r}_{1}}={{r}_{2}}=\ldots={{r}_{34}}=1$，$ \left\{ {{a}_{1 }},{{a}_{2}},\ldots,{{a}_{34}} \right\}=\left\{ \frac{1}{17},\frac{2}{17},\ldots,\frac{16}{17},\frac{1}{19},\frac{2}{19},\ldots,\frac{18}{19} \right\}$
故 ${{a}_{1}}=\frac{1}{19}\text{,}{{a}_{2}}=\frac{1}{17}\text{,}{{a}_{3}}=\frac{2}{19}\text{,}{{a}_{4}}=\frac{2}{17}\text{,}{{a}_{5}}=\frac{3}{19}$，因此 ${{a}_{1}}+{{a}_{2}}+{{a}_{3}}+{{a}_{4}}+{{a}_{5}}=\frac{159}{323}$，故 $ m+n=482$ 。
答案
解析
备注
