已知 $z_1,z_2,z_3\in{\mathbb C}$，$a,b,c\in{\mathbb R}$，满足 $\left|z_1\right|=\left|z_2\right|=\left|z_3\right|=1$，且 $\dfrac{z_1}{z_2}+\dfrac{z_2}{z_3}+\dfrac{z_3}{z_1}=1$，求 $\left|az_1+bz_2+cz_3\right|$ 的所有可能取值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\sqrt{a^2+(b+c)^2}$ 或 $\sqrt{b^2+(c+a)^2}$ 或 $\sqrt{c^2+(a+b)^2}$
【解析】
设 $\dfrac{z_1}{z_2}=\cos\alpha+{\rm i}\sin\alpha$，$\dfrac{z_2}{z_3}=\cos\beta+{\rm i}\sin\beta$，则$$\dfrac{z_3}{z_1}=\cos\left(\alpha+\beta\right)-{\rm i}\sin\left(\alpha+\beta\right),$$于是有$$\begin{split}\cos\alpha+\cos\beta+\cos\left(\alpha+\beta\right)=1,\\\sin\alpha+\sin\beta-\sin\left(\alpha+\beta\right)=0,\end{split}$$第二个式子可以整理得$$4\sin\dfrac{\alpha+\beta}2\sin\dfrac{\alpha}2\sin\dfrac{\beta}{2}=0,$$于是 $\dfrac{z_1}{z_2},\dfrac{z_2}{z_3},\dfrac{z_3}{z_1}$ 中必有一个为 $1$，进而剩余的两个或者同为 ${\rm i}$ 或者同为 $-{\rm i}$．
另一方面，根据已知有$$\left|az_1+bz_2+cz_3\right|=\left|a+b\cdot\dfrac{z_2}{z_1}+c\cdot\dfrac{z_3}{z_1}\right|,$$于是所求的值为 $\sqrt{a^2+(b+c)^2}$ 或 $\sqrt{b^2+(c+a)^2}$ 或 $\sqrt{c^2+(a+b)^2}$．
另一方面，根据已知有$$\left|az_1+bz_2+cz_3\right|=\left|a+b\cdot\dfrac{z_2}{z_1}+c\cdot\dfrac{z_3}{z_1}\right|,$$于是所求的值为 $\sqrt{a^2+(b+c)^2}$ 或 $\sqrt{b^2+(c+a)^2}$ 或 $\sqrt{c^2+(a+b)^2}$．
答案
解析
备注
