如果 $a$，$b$，$c$ 是正整数，满足 $c={{\left( a+b\text{i} \right)}^{3}}-107\text{i}$，求 $c$（其中 ${{\text{i}}^{2}}=-1$）．
【难度】
【出处】
1985年第3届美国数学邀请赛（AIME）
【标注】
【答案】
198
【解析】
$c={{\left(a+b\text{i} \right)}^{3}}-107\text{i}$ 可写成 $c=a\left( {{a}^{2}}-3{{b}^{2}}\right)+\text{i}\left[ b\left( 3{{a}^{2}}-{{b}^{2}} \right)-107 \right]$．（1）
因 $c$ 是实数，所以虚部为0，即 $b\left( 3{{a}^{2}}-{{b}^{2}} \right)-107=0$．（2）
因为 $a$ 与 $b$ 都是正整数，107是素数，从（2）可得下述两种情况之一：$b=107$ 且 $3{{a}^{2}}-{{b}^{2}}=1$ 或者 $b=1$ 且 $3{{a}^{2}}-{{b}^{2}}=107$．第一种情况中 $3{{a}^{2}}={{107}^{2}}+1$．这不可能成立，因 ${{107}^{2}}+1$ 不是3的倍数．因此第一种情况应予排除．第二种情况中可求出 $a=6$．再由（1），得 $c=a\left({{a}^{2}}-3{{b}^{2}} \right)=6\left( {{6}^{2}}-3\times {{1}^{2}} \right)=198$．
因 $c$ 是实数，所以虚部为0，即 $b\left( 3{{a}^{2}}-{{b}^{2}} \right)-107=0$．（2）
因为 $a$ 与 $b$ 都是正整数，107是素数，从（2）可得下述两种情况之一：$b=107$ 且 $3{{a}^{2}}-{{b}^{2}}=1$ 或者 $b=1$ 且 $3{{a}^{2}}-{{b}^{2}}=107$．第一种情况中 $3{{a}^{2}}={{107}^{2}}+1$．这不可能成立，因 ${{107}^{2}}+1$ 不是3的倍数．因此第一种情况应予排除．第二种情况中可求出 $a=6$．再由（1），得 $c=a\left({{a}^{2}}-3{{b}^{2}} \right)=6\left( {{6}^{2}}-3\times {{1}^{2}} \right)=198$．
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