设复数 $z_1,z_2$ 满足 ${\rm Re}(z_1)>0,{\rm Re}(z_2)>0$，且 ${\rm Re}(z_1^2)={\rm Re}(z_2^2)=2$，其中 ${\rm Re}(z)$ 表示复数 $z$ 的实部．
【难度】
【出处】
2017年全国高中数学联赛A卷（一试）
【标注】
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求 ${\rm Re}(z_1z_2)$ 的最小值；标注答案$2$解析设 $z_k=x_k+{\rm i}y_k$，$k=1,2$．根据题意，有 $x_1,x_2>0$，且\[x_1^2-y_1^2=x_2^2-y_2^2=2.\]于是 $P_1(x_1,y_2)$ 和 $P_2(x_2,y_2)$ 都是双曲线 $H:x^2-y^2=2$ 右支上的点．而\[\begin{split}{\rm Re}(z_1z_2)&=x_1x_2-y_1y_2\\
&=\sqrt{y_1^2+2}\cdot\sqrt{y_2^2+2}-y_1y_2\\
&=\sqrt{y_1^2y_2^2+2y_1^2+2y_2^2+4}-y_1y_2\\
&\geqslant \sqrt {y_1^2y_2^2+4y_1y_2+4}-y_1y_2\\
&=\left|y_1y_2+2\right|-y_1y_2\\
&\geqslant 2,\end{split}\]等号当 $y_1=y_2$ 时取得．因此所求的最小值为 $2$． -
求 $\left|z_1+2\right|+\left|\overline{z_2}+2\right|-\left|\overline{z_1}-z_2\right|$ 的最小值．标注答案$4\sqrt 2$解析由共轭复数的性质，有\[m=\left|z_1+2\right|+\left|\overline{z_2}+2\right|-\left|\overline{z_1}-z_2\right|=\left|z_1-(-2)\right|+\left|\overline{z_2}-(-2)\right|-\left|z_1-\overline{z_2}\right|,\]记 $F_1(-2,0)$，$F_2(2,0)$ 为双曲线 $H$ 的左、右焦点，$P_2'$ 为 $P_2$ 关于 $x$ 轴的对称点（该点仍然在双曲线 $H$ 上），于是\[m=|P_1F_1|+|P_2'F_1|-|P_1P_2'|=2\sqrt 2+|P_1F_2|+2\sqrt 2+|P_2'F_2|-|P_1P_2'|\geqslant 4\sqrt 2,\]等号当 $F_2$ 在线段 $P_1P_2'$ 时取得．因此所求的最小值为 $4\sqrt 2$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
