确定所有的复数 $\alpha$，使得对任意复数 $z_1$，$z_2$，（$|z_1|,|z_2|<1,z_1\neq z_2$），均有$$(z_1+\alpha)^2+\alpha \overline {z_1}\neq (z_2+\alpha)^2+\alpha \overline {z_2}.$$
【难度】
【出处】
2014年全国高中数学联赛（一试）
【标注】
【答案】
$\{\alpha| \alpha \in \mathbb C,|\alpha| \geqslant 2\}$
【解析】
记 $f_{\alpha}(z)=(z+\alpha)^2+\alpha \overline {z}$，则$$f_{\alpha}(z_1)-f_{\alpha}(z_2)= (z_1+z_2+2\alpha)(z_1-z_2)+\alpha(\overline {z_1}-\overline {z_2}).\quad\cdots \cdots \text{ ① }$$假如存在复数 $z_1$，$z_2$，（$|z_1|,|z_2|<1,z_1\neq z_2$），使得 $f_{\alpha}(z_1)=f_{\alpha}(z_2)$，则由 ① 知，$$ |\alpha(\overline {z_1}-\overline {z_2})|=|-(z_1+z_2+2\alpha)(z_1-z_2)|,$$利用$$|\overline {z_1}-\overline {z_2}|=| z_1 - z_2 | \neq 0,$$得$$|\alpha|=|z_1+z_2+2\alpha| \geqslant 2|\alpha|-|z_1|-|z_2|>2|\alpha|-2,$$即 $|\alpha|<2$．
另一方面，对任意满足 $|\alpha|<2$ 的复数 $\alpha$，令$$z_1=-\dfrac {\alpha}{2}+\beta \mathrm i , z_2=-\dfrac {\alpha}{2}-\beta \mathrm i,$$其中 $0<\beta<1-\dfrac {|\alpha|}{2}$，则 $z_1 \neq z_2$，而$$\left| -\dfrac {\alpha}{2}\pm \beta \mathrm i \right| \leqslant \left| -\dfrac {\alpha}{2} \right|+| \beta |<1 ,$$故 $|z_1|,|z_2|<1$．此时将$$z_1+z_2=-\alpha, z_1-z_2=2\beta \mathrm i,\overline {z_1}-\overline {z_2}=-2\beta \mathrm i,$$代入 ① 可得，$$f_{\alpha}(z_1)-f_{\alpha}(z_2)=\alpha \cdot 2\beta \mathrm i +\alpha \cdot (-2\beta \mathrm i)=0,$$即 $f_{\alpha}(z_1)=f_{\alpha}(z_2)$．
综上所述，符合要求的 $\alpha$ 的值为 $\{\alpha| \alpha \in \mathbb C,|\alpha| \geqslant 2\}$．
另一方面，对任意满足 $|\alpha|<2$ 的复数 $\alpha$，令$$z_1=-\dfrac {\alpha}{2}+\beta \mathrm i , z_2=-\dfrac {\alpha}{2}-\beta \mathrm i,$$其中 $0<\beta<1-\dfrac {|\alpha|}{2}$，则 $z_1 \neq z_2$，而$$\left| -\dfrac {\alpha}{2}\pm \beta \mathrm i \right| \leqslant \left| -\dfrac {\alpha}{2} \right|+| \beta |<1 ,$$故 $|z_1|,|z_2|<1$．此时将$$z_1+z_2=-\alpha, z_1-z_2=2\beta \mathrm i,\overline {z_1}-\overline {z_2}=-2\beta \mathrm i,$$代入 ① 可得，$$f_{\alpha}(z_1)-f_{\alpha}(z_2)=\alpha \cdot 2\beta \mathrm i +\alpha \cdot (-2\beta \mathrm i)=0,$$即 $f_{\alpha}(z_1)=f_{\alpha}(z_2)$．
综上所述，符合要求的 $\alpha$ 的值为 $\{\alpha| \alpha \in \mathbb C,|\alpha| \geqslant 2\}$．
答案
解析
备注
