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设 ${z_1},{z_2},{z_3},{z_4}$ 是复平面单位圆上的四点，若 ${z_1} + {z_2} + {z_3} + {z_4} = 0$．求证：这四个点组成一个矩形．
【难度】
【出处】
2000年复旦大学保送生招生测试
【标注】
  • 数学竞赛
    >
    复数
    >
    复数
  • 知识点
    >
    复数
    >
    复数的运算
    >
    复数及其运算的几何意义
【答案】
略
【解析】
如图，设点 $A$、$B$、$C$、$D$ 分别代表 ${z_1} + {z_2}$、${z_2} + {z_3}$、${z_3} + {z_4}$、${z_4} + {z_1}$．由 $O{Z_1} = O{Z_2} = 1$，根据复数加法的几何意义，得平行四边形 $O{Z_1}A{Z_2}$ 是菱形．
同理 $O{Z_2}B{Z_3}$、$O{Z_3}C{Z_4}$、$O{Z_4}D{Z_1}$ 也是菱形．于是$$\begin{split} \angle {Z_1}OA = &\angle {Z_2}OA = {\theta _a},\angle {Z_2}OB = \angle {Z_3}OB = {\theta _b},\\\angle {Z_3}OC = &\angle {Z_4}OC = {\theta _c},\angle {Z_4}OD = \angle {Z_1}OD = {\theta _d}.\end{split} $$而$${z_1} + {z_2} =- \left( {{z_3} + {z_4}} \right),$$所以 $A$、$O$、$C$ 三点共线．$${z_2} + {z_3} =- \left( {{z_4} + {z_1}} \right),$$所以 $B$、$O$、$D$ 三点共线．
因此\[2{\theta _a} + {\theta _b} + {\theta _d} = 2{\theta _b} + {\theta _a} + {\theta _c} = 2{\theta _c} + {\theta _b} + {\theta _d} = 2{\theta _d} + {\theta _c} + {\theta _a}= {{\pi }}.\]所以 ${\theta _a} = {\theta _c}$，${\theta _b} = {\theta _d}$．从而$${\theta _a} + {\theta _b} = \dfrac{{{\pi }}}{2},$$于是 $AC \perp BD$．而在各个菱形中 ${Z_1}{Z_2} \perp AC$，${Z_3}{Z_4} \perp AC$，所以 ${Z_1}{Z_2}\parallel {Z_3}{Z_4}$，${Z_2}{Z_3} \perp BD$，${Z_4}{Z_1} \perp BD$，所以 ${Z_2}{Z_3}\parallel {Z_4}{Z_1}$．又 $AC \perp BD$，所以四边形 ${Z_1}{Z_2}{Z_3}{Z_4}$ 是矩形．
另法记 $\overrightarrow{OZ_i}=z_i,i=1,2,3,4$，则有 $\overrightarrow{OZ_1}+\overrightarrow{OZ_2}=-(\overrightarrow{OZ_3}+\overrightarrow{OZ_4})$，故两边的模长相等，从而得到$$\overrightarrow{OZ_1}\cdot\overrightarrow{OZ_2}=\overrightarrow{OZ_3}\cdot\overrightarrow{OZ_4},$$同理有$$\overrightarrow{OZ_2}\cdot\overrightarrow{OZ_3}=\overrightarrow{OZ_1}\cdot\overrightarrow{OZ_4},$$于是有$$\angle Z_1OZ_2=\angle Z_3OZ_4,\angle Z_2OZ_3=\angle Z_4OZ_1,$$于是有$$\angle Z_1OZ_2+\angle Z_2OZ_3=\angle Z_3OZ_4+\angle Z_4OZ_1=\pi,$$即 $Z_1,O,Z_3$，$Z_2,O,Z_4$ 共线，所以四边形 $Z_1Z_2Z_3Z_4$ 为矩形．
答案 解析 备注
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