题目 已知有理数数列 $\{a_n\}$（$n = 0, 1, 2, \cdots$）满足 $a_n=\alpha x_1^n+\beta x_2^n \neq 0$（$n = 0, 1, 2, \cdots$），其中 $\alpha$，$\beta$ 为实数，$x_1,x_2\in \mathbb C$（$\mathbb C$ 为复数集），且 $x_1x_2=1$．证明： 问题1 $x_1 + x_2$ 为有理数； 答案1 略 解析1 因为$$a_0=\alpha+\beta, a_1=\alpha x_1+\beta x_2, a_2=\alpha x_1^2+\beta x_2^2,$$所以$$\begin{split}a_0x_1-a_1= \beta (x_1-x_2),\\a_1x_1-a_2=\beta x_2(x_1-x_2),\end{split}$$从而可得$$a_1x_1-a_2=x_2(a_0x_1-a_1),$$即$$a_2-(x_1+x_2)a_1+a_0=0.$$由于 $a_0$，$a_1$，$a_2$ 为非零有理数，所以 $x_1+x_2$ 为有理数． 备注1 问题2 若 $x_1$，$x_2$ 不是实数，则 $\alpha=\beta$． 答案2 略 解析2 因为 $x_1$，$x_2$ 不是实数，且 $x_1+x_2$ 为有理数，所以设$$x_1=b_1+c\mathrm i, x_2=b_2-c\mathrm i,$$其中 $b_1$，$b_2$，$c$ 为实数，且 $c \neq 0$．<br/>又因为\[\begin{split}a_1&=\alpha (b_1+c\mathrm i)+\beta (b_2-c\mathrm i)\\&=(\alpha b_1+\beta b_2)+(\alpha-\beta)c\mathrm i,\end{split}\]依题意有 $\alpha$，$\beta$，$a_1$ 为实数，所以$$(\alpha-\beta)c=0,$$从而 $\alpha=\beta$． 备注2