已知方程 ${{x}^{10}}+{{\left( 13x-1 \right)}^{10}}=0$ 有10个复根 ${{r}_{1}}$，$\overline{{{r}_{1}}}$，${{r}_{2}}$，$\overline{{{r}_{2}}}$，${{r}_{3}}$，$\overline{{{r}_{3}}}$，${{r}_{4}}$，$\overline{{{r}_{4}}}$，${{r}_{5}}$，$\overline{{{r}_{5}}}$，${{r}_{i}}$ 与 $\overline{{{r}_{i}}}\left( i=1 2 3 4 5 \right)$ 互为共轭复根．求 $\frac{1}{{{r}_{1}}\overline{{{r}_{1}}}}+\frac{1}{{{r}_{2}}\overline{{{r}_{2}}}}+\frac{1}{{{r}_{3}}\overline{{{r}_{3}}}}+\frac{1}{{{r}_{4}}\overline{{{r}_{4}}}}+\frac{1}{{{r}_{5}}\overline{{{r}_{5}}}}$ 的值．
【难度】
【出处】
1994年第12届美国数学邀请赛（AIME）
【标注】
【答案】
850
【解析】
【解析】令 $p\left( x \right)={{x}^{10}}+{{\left( 13x-1 \right)}^{10}}$，若 $r$ 是 $p\left( x\right)$ 的一个零点，则 $-1={{\left( \frac{13r-1}{r} \right)}^{10}}={{\left( \frac{1}{r}-13\right)}^{10}}$
由 $\left(\frac{1}{r}-13 \right)\left( \frac{1}{\overline{r}}-13 \right)=1$，得 $\left(\frac{1}{{{r}_{1}}}-13 \right)\left( \frac{1}{\overline{{{r}_{1}}}}-13\right)+\cdots +\left( \frac{1}{{{r}_{5}}}-13 \right)\left(\frac{1}{\overline{{{r}_{5}}}}-13 \right)=5$．
展开后，整理得 $\left(\frac{1}{{{r}_{1}}\overline{{{r}_{1}}}}+\cdots+\frac{1}{{{r}_{5}}\overline{{{r}_{5}}}} \right)-13\left(\frac{1}{{{r}_{1}}}+\frac{1}{\overline{{{r}_{1}}}}+\cdots+\frac{1}{{{r}_{5}}}+\frac{1}{\overline{{{r}_{5}}}} \right)+5\times 169=5$．
由于 $\frac{1}{{{r}_{1}}}$，$\frac{1}{\overline{{{r}_{1}}}}$，…，$\frac{1}{{{r}_{5}}}$，$\frac{1}{\overline{{{r}_{5}}}}$ 是 ${{x}^{10}}p\left(\frac{1}{x} \right)={{x}^{10}}-130{{x}^{9}}+\cdots $ 的零点，
故 $\frac{1}{{{r}_{1}}}+\frac{1}{\overline{{{r}_{1}}}}+\cdots+\frac{1}{{{r}_{5}}}+\frac{1}{\overline{{{r}_{5}}}}=130$．
所以 $\frac{1}{{{r}_{1}}\overline{{{r}_{1}}}}+\cdots+\frac{1}{{{r}_{5}}\overline{{{r}_{5}}}}=850$．
由 $\left(\frac{1}{r}-13 \right)\left( \frac{1}{\overline{r}}-13 \right)=1$，得 $\left(\frac{1}{{{r}_{1}}}-13 \right)\left( \frac{1}{\overline{{{r}_{1}}}}-13\right)+\cdots +\left( \frac{1}{{{r}_{5}}}-13 \right)\left(\frac{1}{\overline{{{r}_{5}}}}-13 \right)=5$．
展开后，整理得 $\left(\frac{1}{{{r}_{1}}\overline{{{r}_{1}}}}+\cdots+\frac{1}{{{r}_{5}}\overline{{{r}_{5}}}} \right)-13\left(\frac{1}{{{r}_{1}}}+\frac{1}{\overline{{{r}_{1}}}}+\cdots+\frac{1}{{{r}_{5}}}+\frac{1}{\overline{{{r}_{5}}}} \right)+5\times 169=5$．
由于 $\frac{1}{{{r}_{1}}}$，$\frac{1}{\overline{{{r}_{1}}}}$，…，$\frac{1}{{{r}_{5}}}$，$\frac{1}{\overline{{{r}_{5}}}}$ 是 ${{x}^{10}}p\left(\frac{1}{x} \right)={{x}^{10}}-130{{x}^{9}}+\cdots $ 的零点，
故 $\frac{1}{{{r}_{1}}}+\frac{1}{\overline{{{r}_{1}}}}+\cdots+\frac{1}{{{r}_{5}}}+\frac{1}{\overline{{{r}_{5}}}}=130$．
所以 $\frac{1}{{{r}_{1}}\overline{{{r}_{1}}}}+\cdots+\frac{1}{{{r}_{5}}\overline{{{r}_{5}}}}=850$．
答案
解析
备注
