已知 $p$ 是大于 $3$ 的素数．求 $\displaystyle \prod \limits_{k=1}^{p}\left(1+2\cos \dfrac {2k\pi}{p}\right)$ 的值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$3$
【解析】
记 $\varepsilon ={\mathrm e}^{\frac {2\pi {\mathrm i}}{p}}$，则 $\varepsilon ^p=1$，$\varepsilon^{-\frac p2}={\mathrm e}^{-\pi{\mathrm i}}=-1$，$2\cos \dfrac {2k\pi}{p}=\varepsilon ^k +\varepsilon ^{-k}$．从而有$$\begin{split} \displaystyle \prod \limits_{k=1}^{p}\left(1+2\cos \dfrac {2k\pi}{p}\right)&= 3\displaystyle \prod \limits_{k=1}^{p-1}\left(1+ \varepsilon ^k +\varepsilon ^{-k}\right)\\&=3\displaystyle \prod \limits_{k=1}^{p-1}\varepsilon ^{-k}\left(1+ \varepsilon ^k +\varepsilon ^{2k}\right)\\&=\varepsilon ^{-\frac {p(p-1)}{2}}3\displaystyle \prod \limits_{k=1}^{p-1}\dfrac {1-\varepsilon ^{3k}}{1-\varepsilon ^{k}}\\&=(-1)^{p-1}3\displaystyle \prod \limits_{k=1}^{p-1}\dfrac {1-\varepsilon ^{3k}}{1-\varepsilon ^{k}}.\end{split}$$因为 $p$ 是大于 $3$ 的素数，故 $(-1)^{p-1}=1 $，且 $ 3,3\times 2,\cdots,3(p-1)$ 取遍所有 $ p $ 的剩余类（$ 0 $ 除外），从而$$\prod \limits_{k=1}^{p-1} \left(1-\varepsilon ^{3k}\right)=\prod \limits_{k=1}^{p-1} \left(1-\varepsilon ^{k}\right).$$因此$$\displaystyle \prod \limits_{k=1}^{p}\left(1+2\cos \dfrac {2k\pi}{p}\right)=3.$$
答案
解析
备注
