求最小正整数 $n$ 使得 $n^2+n+24$ 可被 $2010$ 整除．
【难度】
【出处】
2010年全国高中数学联赛安徽省预赛
【标注】
【答案】
$77$
【解析】
因为$$2010|n^2+n+24,$$所以$$\begin{cases}n^2+n+24 \equiv 0(\mod 2),\\n^2+n+24 \equiv 0(\mod 3),\\n^2+n+24 \equiv 0(\mod 5),\\n^2+n+24 \equiv 0(\mod 67) ,\end{cases}$$等价于$$\begin{cases}n^2+n\equiv 0(\mod 3),\\n^2+n\equiv 1(\mod 5),\\n^2+n\equiv 4(\mod 67),\end{cases}$$而\[\begin{split}n^2+n\equiv 0(\mod 3) \Leftrightarrow & n \equiv 0 \text{或}2(\mod 3)\\ n^2+n\equiv 1(\mod 5) \Leftrightarrow & n \equiv2(\mod 5)\\ n^2+n\equiv 43(\mod 67) \Leftrightarrow & n \equiv 10 \text{或}56(\mod 67) \end{split}\]因此，所求最小正整数 $n=77$．
答案
解析
备注
