设复数 ${z_1} , {z_2}$ 满足：$\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_1} + {z_2}} \right|$，$\overline{z_1}z_2=a(1+\sqrt 3{\mathrm i})$，其中 ${\mathrm{i}}$ 是虚数单位，$a$ 是非零实数，求 $\dfrac{{{z_2}}}{{{z_1}}}$．
【难度】
【出处】
2001年复旦大学保送生招生测试
【标注】
【答案】
$- \dfrac{1}{2} - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}{\rm {i}}$
【解析】
因为$$\dfrac{{{z_2}}}{{{z_1}}} = \dfrac{{{z_2} \cdot \overline {{z_1}} }}{{{z_1} \cdot \overline {{z_1}} }}= \dfrac{{{z_2} \cdot \overline {{z_2}} }}{{{z_1} \cdot \overline {{z_2}} }},$$所以关键是求出 $\left| {{z_1}} \right|$ 或 $\left| {{z_2}} \right|$．由\[\begin{split}&\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_1} + {z_2}} \right|\\ \Rightarrow &{\left| {{z_1}} \right|^2} = \left( {{z_1} + {z_2}} \right)\left( {\overline {{z_1}} + \overline {{z_2}} } \right) = {\left| {{z_1}} \right|^2} + {\left| {{z_2}} \right|^2} + \overline {{z_1}} {z_2} + {z_1}\overline {{z_2}} \\ \Rightarrow&{\left| {{z_2}} \right|^2} + a\left( {1 + \sqrt 3 {\mathrm{i}}} \right) + a\left( {1 - \sqrt 3 {\mathrm{i}}} \right) = 0\\\Rightarrow &{\left| {{z_2}} \right|^2} = - 2a.\end{split}\]于是$$ \dfrac{{{z_2}}}{{{z_1}}}= \dfrac{{ - 2a}}{{a\left( {1 - \sqrt 3 {\rm {i}}} \right)}} = - \dfrac{1}{2} - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}{\rm {i}}. $$或用复数的三角形式．
答案
解析
备注
