求所有使得 $p^{q+1}+q^{p+1}$ 为完全平方数的质数 $p$ 和 $q$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$p=2$，$q=2$
【解析】
设 $p^{q+1}+q^{p+1}=a^2$，$a\in\mathbb N^*$，则$$p^{q+1}+q^{p+1}\equiv 0,1\pmod{4},$$因此 $p,q$ 中至少有一个为 $2$．当 $p=q=2$ 时符合题意，接下来不妨设 $p=2$，则 $2^{q+1}+q^3=a^2$，即$$q^3=\left(a+2^{\frac{q+1}2}\right)\left(a-2^{\frac{q+1}2}\right),$$因此$$\left(a+2^{\frac{q+1}2}\right)-\left(a-2^{\frac{q+1}2}\right)=q^3-1,$$或$$\left(a+2^{\frac{q+1}2}\right)-\left(a-2^{\frac{q+1}2}\right)=q^2-q,$$即$$2^{\frac {q+3}{2}}=(q-1)(q^2+q+1)$$$$2^{\frac {q+3}{2}}=q(q-1),$$因为 $q$ 为奇数时，$q^2+q+1$ 为奇数，所以上面两个方程都不可能有解．
综上所述，所有使得 $p^{q+1}+q^{p+1}$ 为完全平方数的质数 $p,q$ 分别为 $p=2$ 且 $q=2$．
综上所述，所有使得 $p^{q+1}+q^{p+1}$ 为完全平方数的质数 $p,q$ 分别为 $p=2$ 且 $q=2$．
答案
解析
备注
