方程 ${{z}^{6}}+{{z}^{3}}+1=0$ 有一个复数根，在复平面上这个根的辐角 $\theta $ 在 $90{}^\circ $ 和 $180{}^\circ $ 之间，求 $\theta $ 的度数．
【难度】
【出处】
1984年第2届美国数学邀请赛（AIME）
【标注】
【答案】
$160{}^\circ$
【解析】
设 $\omega ={{z}^{3}}$，题设方程化为 ${{\omega }^{2}}+\omega +1=0$．它的解是 $\frac{-1+\sqrt{3}\text{i}}{2}$ 和 $\frac{-1-\sqrt{3}\text{i}}{2}$，其辐角分别为 $120{}^\circ$ 和 $240{}^\circ $．由于 $z=\sqrt[3]{\omega}$，可以求出 $z$ 的六个辐角值分别是 $\frac{120{}^\circ }{3}$，$\frac{120{}^\circ+360{}^\circ }{3}$，$\frac{120{}^\circ +720{}^\circ }{3}$，$\frac{240{}^\circ}{3}$，$\frac{240{}^\circ +360{}^\circ }{3}$，$\frac{240{}^\circ+720{}^\circ }{3}$．
显然，只有第二个，即 $160{}^\circ$ 在 $90{}^\circ $ 和 $180{}^\circ $ 之间，为所求 $\theta $ 的度数．
显然，只有第二个，即 $160{}^\circ$ 在 $90{}^\circ $ 和 $180{}^\circ $ 之间，为所求 $\theta $ 的度数．
答案
解析
备注
