利用方程 ${z^n} = 1$ 的复数根的特点，证明：$$\begin{split}\cos {\theta _0} + \cos \left( {{\theta _0} + \dfrac{{2{\rm{\pi }}}}{n}} \right) + \cos \left( {{\theta _0} + \dfrac{{4{\rm{\pi }}}}{n}} \right) + \cdots + \cos \left( {{\theta _0} + \dfrac{{2\left( {n - 1} \right){\rm{\pi }}}}{n}} \right) = 0,
\\\sin {\theta _0} + \sin \left( {{\theta _0} + \dfrac{{2{\rm{\pi }}}}{n}} \right) + \sin \left( {{\theta _0} + \dfrac{{4{\rm{\pi }}}}{n}} \right) + \cdots + \sin \left( {{\theta _0} + \dfrac{{2\left( {n - 1} \right){\rm{\pi }}}}{n}} \right) = 0.\end{split}$$
\\\sin {\theta _0} + \sin \left( {{\theta _0} + \dfrac{{2{\rm{\pi }}}}{n}} \right) + \sin \left( {{\theta _0} + \dfrac{{4{\rm{\pi }}}}{n}} \right) + \cdots + \sin \left( {{\theta _0} + \dfrac{{2\left( {n - 1} \right){\rm{\pi }}}}{n}} \right) = 0.\end{split}$$
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
记 $\varepsilon=\cos\dfrac{2\pi}{n}+{\rm i}\sin\dfrac{2\pi}{n}$，$z_k=\varepsilon^kz_0$，于是$$z_0+z_1+\cdots+z_{n-1}=z_0\left(1+\varepsilon+\cdots+\varepsilon^{n-1}\right)=z_0\cdot\dfrac{1-\varepsilon^{n}}{1-\varepsilon}=0.$$
答案
解析
备注
