集合 $A=\left\{ z|{{z}^{18}}=1 \right\}$ 和 $B=\left\{ \omega |{{\omega }^{48}}=1 \right\}$ 都是1的单位根的集合，集合 $C=\left\{ z\omega |z\in A \omega \in B \right\}$ 也是一个1的单位根的集合，集合 $C$ 中有多少个不同的元素？
【难度】
【出处】
1990年第8届美国数学邀请赛（AIME）
【标注】
【答案】
144
【解析】
$z=\cos \frac{2s\text{ }\!\!\pi\!\!\text{}}{18}+\text{i}\sin \frac{2s\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{18}$，$s\in\mathbf{Z}$．
$\omega =\cos\frac{2t\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{48}+\text{i}\sin \frac{2t\text{}\!\!\pi\!\!\text{ }}{48}$，$t\in \mathbf{Z}$，
$z\omega =\cos\frac{2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }\left( 8s+3t \right)}{144}+\text{i}\sin\frac{2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }\left( 8s+3t \right)}{144}$．
令 $k=8s+3t$，$s$，$t\in\mathbf{Z}$．记 $P=\left\{ k|k=8s+3t s t\in \mathbf{Z} \right\}$．
下面证明 $P=\mathbf{Z}$．
（1）设 $k\in P$，则 $k=8s+3t$，所以 $k\in \mathbf{Z}$，从而 $P\subseteq \mathbf{Z}$．
（2）任取 $x\in \mathbf{Z}$，则 $x$ 有三种情况．
① $x=3m$，$m\in \mathbf{Z}$，则 $x=8\times 0+3m$，所以 $x\in P$；
② $x=3m+1$，$m\in \mathbf{Z}$，则 $x=8\times \left( -1 \right)+3\left( m+3 \right)$，所以 $x\in P$；
③ $x=3m+2$，$m\in \mathbf{Z}$，则 $x=8\times \left( -2 \right)+3\left( m+6 \right)$，所以 $x\in P$．
由此可知 $\mathbf{Z}\subseteq P$，因此，$P=\mathbf{Z}$．所以集合 $C$ 中共有不同元素144（个）．
$\omega =\cos\frac{2t\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{48}+\text{i}\sin \frac{2t\text{}\!\!\pi\!\!\text{ }}{48}$，$t\in \mathbf{Z}$，
$z\omega =\cos\frac{2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }\left( 8s+3t \right)}{144}+\text{i}\sin\frac{2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }\left( 8s+3t \right)}{144}$．
令 $k=8s+3t$，$s$，$t\in\mathbf{Z}$．记 $P=\left\{ k|k=8s+3t s t\in \mathbf{Z} \right\}$．
下面证明 $P=\mathbf{Z}$．
（1）设 $k\in P$，则 $k=8s+3t$，所以 $k\in \mathbf{Z}$，从而 $P\subseteq \mathbf{Z}$．
（2）任取 $x\in \mathbf{Z}$，则 $x$ 有三种情况．
① $x=3m$，$m\in \mathbf{Z}$，则 $x=8\times 0+3m$，所以 $x\in P$；
② $x=3m+1$，$m\in \mathbf{Z}$，则 $x=8\times \left( -1 \right)+3\left( m+3 \right)$，所以 $x\in P$；
③ $x=3m+2$，$m\in \mathbf{Z}$，则 $x=8\times \left( -2 \right)+3\left( m+6 \right)$，所以 $x\in P$．
由此可知 $\mathbf{Z}\subseteq P$，因此，$P=\mathbf{Z}$．所以集合 $C$ 中共有不同元素144（个）．
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解析
备注
