已知 $|z| = 1$，求 $|{z^2} + z + 4|$ 的最小值．
【难度】
【出处】
2003年复旦大学保送生招生测试
【标注】
【答案】
$\dfrac{{3\sqrt {15} }}{4}$
【解析】
由$$\left| {{z^2} + z + 4} \right| = \left| {{z^2}\overline z + z\overline z + 4\overline z } \right| = \left| {z + 4\overline z + 1} \right|$$设 $z = a + b{\rm{i}}$，且 ${a^2} + {b^2} = 1$，则 $a,b \in \left[ { - 1,1} \right]$，\[\begin{split}{\left| {z + 4\overline z + 1} \right|^2}& = {\left( {5a + 1} \right)^2} + 9{b^2} \\&= 25{a^2} + 10a + 1 + 9 - 9{a^2} \\&= 16{a^2} + 10a + 10,\end{split}\]对称轴为 $a = - \dfrac{5}{{16}} \in \left[ { - 1,1} \right]$，所以 ${\left| {z + 4\overline z + 1} \right|^2}$ 的最小值为 $\dfrac{{135}}{{16}}$．
于是 $\left| {{z^2} + z + 4} \right|$ 的最小值为 $\dfrac{{3\sqrt {15} }}{4}$．
于是 $\left| {{z^2} + z + 4} \right|$ 的最小值为 $\dfrac{{3\sqrt {15} }}{4}$．
答案
解析
备注
