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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
19738 5d13423e210b280220ed4f1b 高中 解答题 自招竞赛 给定锐角 $\triangle P B C, P B \neq P C$．设 $A,D$ 分别是边 $PB,PC$ 上的点，联结 $ AC,BD$，相交于 $O$．过点 $O$ 分别作 $O E \perp A B, O F \perp CD$，垂足分别为 $ E,F$，线段 $BC,AD$ 的中点分别为 $ M,N$．
（1）若 $A,B,C,D$ 四点共圆，求证：$EM\cdot FN = EN\cdot FM$；
（2）若 $ EM\cdot FN = EN\cdot FM$，是否一定有 $ A,B,C,D$ 四点共圆？证明你的结论．		 2022-04-17 19:15:53
19737 5d13505b210b280220ed4f3c 高中 解答题 自招竞赛 求所有的素数对 $(p, q)$，使得 $p q | 5^{p}+5^{q}$． 2022-04-17 19:15:53
19736 5d1428fd210b280220ed4fae 高中 解答题 自招竞赛 设 $m, n$ 是给定的整数，$4<m<n, A_{1} A_{2} \cdots A_{2 n+1}$ 是一个正 $2n+1$ 边形，$P=\left\{A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{2 n+1}\right\}$．求顶点属于 $P$ 且恰有两个内角是锐角的凸 $m$ 边形的个数． 2022-04-17 19:15:53
19735 5d142b64210b28021fc7797c 高中 解答题 自招竞赛 给定整数 $n\geqslant 3$，实数 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$ 满足 $\min\limits _{1 \leqslant i<j \leqslant n} | a_{i}-a_{j} |=1$，求 $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{n}\left|a_{k}\right|^{3}$ 的最小值． 2022-04-17 19:14:53
19734 5d142eac210b28021fc77994 高中 解答题 自招竞赛 凸 $n$ 边形 $P$ 中的每条边和每条对角线都被染为 $n$ 种颜色中的一种颜色．问：对怎样的 $ n$，存在一种染色方式，使得对于这 $n$ 种颜色中的任何 $3$ 种不同颜色，都能找到一个三角形，其顶点为多边形 $P$ 的顶点，且它的 $3$ 条边分别被染为这 $3$ 种颜色？ 2022-04-17 19:14:53
19733 5d1433f3210b280220ed5009 高中 解答题 自招竞赛 给定整数 $n\geqslant 3$，证明：存在 $n$ 个互不相同的正整数组成的集合 $ S$，使得对 $S$ 的任意两个不同的非空子集 $A,B$，数 $\displaystyle \dfrac{\sum\limits_{x \in A} x}{|A|}$ 与 $\displaystyle \dfrac{\sum\limits_{x \in B} x}{|B|}$ 是互素的合数（这里 $\displaystyle \sum\limits_{x \in X} x$ 与 $|X|$ 分别表示有限数集 $X$ 的所有元素之和及元素个数．） 2022-04-17 19:14:53
19732 5d1328f5210b280220ed4ead 高中 解答题 自招竞赛 设 $A$ 是正整数集的无限子集，$n(n > 1)$ 是给定的整数．已知对任意一个不整除 $n$ 的质数 $p$，集合 $A$ 中均有无穷多个元素不被 $p$ 整除．证明：对任意整数 $m(m > 1),(m,n) = 1$，集 合 $A$ 中均存在有限个互不相同的元素，其和 $S$ 满足 $ s \equiv 1\pmod{m}$，且 $S \equiv 0\pmod n$． 2022-04-17 19:13:53
19731 5d1334c4210b280220ed4ed6 高中 解答题 自招竞赛 试确定所有同时满足 $q^{n+2} \equiv 3^{n+2}\left(\bmod p^{n}\right), p^{n+2} \equiv 3^{n+2}\left(\bmod q^{n}\right)$ 的三元数组 $(p,q,n)$，其中，$p,q$ 为奇质数，$n$ 为大于 $1$ 的整数． 2022-04-17 19:13:53
19730 5d12cf84210b280220ed4dd0 高中 解答题 自招竞赛 试证明：（1）若 $2n- 1$ 为素数，则对于任意 $n$ 个互不相同的正整数 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$，都存在 $i, j \in\{1,2, \cdots, n\}$，使得 $\dfrac{a_{i}+a_{j}}{\left(a_{i}, a_{j}\right)} \geqslant 2 n-1$
（2）若 $2n-1$ 为合数，则存在 $n$ 个互不相同的正整数 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$，使得 $\dfrac{a_{i}+a_{j}}{\left(a_{i}, a_{j}\right)} \geqslant 2 n-1$ $\dfrac{a_{i}+a_{i}}{\left(a_{i}, a_{j}\right)}<2 n-1$
其中，$(x,y)$ 表示正整数 $x,y$ 的最大公约数．		 2022-04-17 19:12:53
19729 5d10a96b210b28021fc77768 高中 解答题 自招竞赛 在面积为 $1$ 的矩形 $ABCD$ 中（包括边界）有 $5$ 个点，其中任意三点不共线求以这 $5$ 个点为顶点的所有三角形中，面积不大于 $\dfrac{1}{4}$ 的三角形的个数的最小值 $4$． 2022-04-17 19:11:53
19728 5d0b120f210b28021fc774a3 高中 解答题 自招竞赛 在正 $n$ 边形的每个顶点上各停有 $1$ 只喜鹊，偶受惊吓使得众喜鹊都飞去，一段时间后，它们又都回到这些点上，仍是每个顶点上 $1$ 只，但未必都回到原来的顶点．求所有正整数 $n
$，使得一定存在 $3$ 只喜鹊，以它们前后所在的顶点分别形成的三角形或同为锐角三角形，或同为直角三角形，或同为钝角三角形．		 2022-04-17 19:11:53
19727 5d075fba210b280220ed47a0 高中 解答题 自招竞赛 若对正整数 $n$，存在 $k$，使得 $n=n_{1} n_{2} \cdots n_{k}=2^{\tfrac{1}{2^k}\left(n_{1}-1\right) \cdots\left(n_{k}-1\right)}-1$ 其中 $n_{1}, \cdots, n_{k}$ 都是大于 $3$ 的整数，则称 $n$ 具有性质 $P$．求具有性质 $P$ 的所有数 $n$． 2022-04-17 19:11:53
19726 5d0331a5210b280220ed451a 高中 解答题 自招竞赛 在一个非钝角 $\triangle ABC$ 中，$A B>A C, \angle B=45^{\circ}$，$O$ 和 $I$ 分别是 $\triangle ABC$ 的外心和内心，且 $\sqrt{2} O I=A B-A C$．求 $\sin A$． 2022-04-17 19:10:53
19725 5d01c992210b28021fc77159 高中 解答题 自招竞赛 设实数 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{1997}$ 满足如下两个条件：
（1）$-\frac{1}{\sqrt{3}} \leqslant x_{i} \leqslant \sqrt{3}(i=1,2, \cdots, 1997)$；
（2）$x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{1997} =-318 \sqrt{3}$．
试求：$x_{1}^{12}+x_{2}^{12}+\cdots+x_{1997}^{12}$ 的最大值，并说明理由．		 2022-04-17 19:10:53
19724 5d01b9aa210b28021fc77110 高中 解答题 自招竞赛 设 $n \in \mathbf{N}, x_{0}=0, x_{i}>0, i=1,2, \cdots, n$，且 $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{n} x_{i}=1$．求证：$\displaystyle 1 \leqslant \sum\limits_{i=1}^{n} \frac{x_{i}}{\sqrt{1+x_{0}+x_{1}+\cdots+x_{i-1}} \sqrt{x_{i}+\cdots+x_{n}}}<\frac{n}{2}$ 2022-04-17 19:10:53
19723 5cfe1c10210b28021fc76ff4 高中 解答题 自招竞赛 试求 $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{10} \sum_{j=1}^{10} \sum_{k=1}^{10} | k(x+y-10 i)(3 x-6 y-36 j)(19 x+95y-95k)|$ 的最小值，其中 $x$ 和 $y$ 是任意整数． 2022-04-17 19:09:53
19722 5cf8e513210b280220ed40a1 高中 解答题 自招竞赛 设 $ABCD$ 是一个梯形 $(AB\parallel CD)$，$E$ 是线段 $AB$ 上一点，$F$ 是线段 $CD$ 上一点，线段 $CE$ 与 $BF$ 相交于点 $H$，线段 $ED$ 与 $AF$ 相交于点 $G$．
求证：$S_{EHFG}\geqslant\dfrac{1}{4}S_{ABCD}$．
如果 $ABCD$ 是一个任意凸四边形，同样结论是否成立？请说明理由．		 2022-04-17 19:09:53
19721 5cfe0a29210b28021fc76fb5 高中 解答题 自招竞赛 设 $M$ 为平面上坐标为 $(p \times 1994,7 p \times 1994)$ 的点，其中 $p$ 是素数．求满足下述条件的直角三角形的个数：
（1）三角形的三个顶点都是整点，而且 $M$ 是直角顶点；
（2）三角形的内心是坐标原．		 2022-04-17 19:09:53
19720 5cf89a75210b28021fc76e7a 高中 解答题 自招竞赛 凸四边形 $ABCD$ 内接于圆 $O$，对角线 $AC$ 与 $BD$ 相交于 $P$．$\triangle A B P, \triangle C D P$ 的外接圆相交于 $P$ 和另一点 $Q$，且 $O,P,Q$ 三点两两不重合．试证：$\angle O Q P=90^{\circ}$． 2022-04-17 19:09:53
19719 5cf89e0d210b280220ed3f5d 高中 解答题 自招竞赛 在有八个顶点的简单图中，没有四边形的图的边数的最大值是多少？（简单图是指任一点与自己没有边相连，而且任 何两个点之间如果有边相连，就只有一条边相连的图） 2022-04-17 19:08:53
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