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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
19718 5cf8aac4210b280220ed3fa9 高中 解答题 自招竞赛 已知整数列 $\left\{a_{0}, a_{1}, a_{2}, \cdots\right\}$ 满足
（1）$a_{n+1}=3 a_{n}-3 a_{n-1}+a_{n-2}, n=2,3, \cdots$；
（2）$ 2 a_{1}=a_{0}+a_{2}-2$；
（3）对任意自然数 $m$，在数列 $\left\{a_{0}, a_{1}, a_{2}, \cdots\right\}$ 中必有相继的 $m$ 项 $a_{k}, a_{k+1}, \cdots, a_{k+m-1}$ $a_{k}, a_{k+1}, \cdots, a_{k+m-1}$
求证：$\left\{a_{0}, a_{1}, a_{2}, \cdots\right\}$ 的所有项都是完全平方数．		 2022-04-17 19:08:53
19717 5cf5dde3210b280220ed3df6 高中 解答题 自招竞赛 平面上有一个凸四边形 $A B C D$．
（1）如果平面上存在一点 $P$，使得 $\triangle A B P, \triangle B C P, \triangle C D P$ 和 $\triangle D A P$ 的面积都相等，问四边形 $ABCD$ 要满足什么条件？
（2）满足（1）的点 $P$，平面上最多有几个？证明你的结论．		 2022-04-17 19:08:53
19716 5cf5ece5210b280220ed3e1b 高中 解答题 自招竞赛 设 $I=[0,1], G=\{(x, y) | x \in I, y \in I\}$，求 $G$ 到 $I$ 的所有映射 $f$，使得对任何 $x, y, z \in {I}$，有
（1）$f(f(x, y), z)=f(x, f(y, z))$
（2）$f(x, 1)=x, f(1, y)=y$
（3）$f(z x, z y)=z^{k} f(x, y)$
这里 $k$ 是 与 $x,y,z$ 都无关的正数．		 2022-04-17 19:08:53
19715 5d13262f210b280220ed4e99 高中 解答题 自招竞赛 对于任意给定的正数 $\varepsilon$，试证明对于全部有限的正整数v，任意含有v个顶点并含有至少 $(1+\varepsilon)v$ 条边有两个等长的简单圈。 2022-04-17 19:07:53
19714 5cf4b16a210b28021fc76d22 高中 解答题 自招竞赛 设 $a$ 是给定的正整数，$A$ 和 $B$ 是两个实数，试确定方程组 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=(B a)^{2},x^{2}\left(A x^{2}+B y^{2}\right)+y^{2}\left(A y^{2}+B z^{2}\right)+z^{2}\left(A z^{2}+B x^{2}\right)=\dfrac{1}{4}(2 A+B)(B a)^{4}$ 有正整数解的充分必要条件（用 $A,B$ 的关系式表示，并予以证明）． 2022-04-17 19:07:53
19713 5cf0bffc210b280220ed3b6b 高中 解答题 自招竞赛 在半径为 $1$ 的圆周上，任意给定两个点集 $A,B$，它们都由有限段互不相交的弧组成，其中 $B$ 的每段弧的长度都等于 $\dfrac{\pi}{m},m$ 是个自然数，用 $A^j$ 表示将集合 $A$ 沿反时针方向在圆周上转动 $\dfrac{j\pi}{m}(j=1,2,3,\cdots)$ 弧度所得的集合，求证：存在自然数 $k$，使得 $l\left(A^{k} \cap B\right) \geqslant \dfrac{1}{2 \pi} l(A) l(B)$ 这里 $l(X)$ 表示组成点集 $X$ 的互不相交的弧段的长度之和． 2022-04-17 19:04:53
19712 5cf0ec5c210b28021fc76c5a 高中 解答题 自招竞赛 设点 $D, E, F$ 分别在 $\triangle ABC$ 的三边 $B C, C A, A B$ 上，且 $\triangle A E F, \triangle B F D, \triangle C D E$ 的内切圆有相等的半径 $r$．又以 $r_0$ 和 $R$ 分别表示 $\triangle D E F$ 和 $\triangle A B C$ 的内切圆半径，求证 $r+r_{0}=R$ 2022-04-17 19:03:53
19711 5cf10bc9210b280220ed3c54 高中 解答题 自招竞赛 空间中有 $1989$ 个点，其中任何三点不共线，把它们分成点数各不相同的 $30$ 组，在任何三个不同的组中各取一点为顶点作三角形．问：要使这种三角形的总数最大，各组的点数应为多少？ 2022-04-17 19:03:53
19710 5d15a9f6210b28021fc77a26 高中 解答题 高中习题 已知函数 $f(x)=\dfrac{x}{a}-\ln x$，若函数 $f(x)$ 有两个零点 $x_1.x_2$ 2022-04-17 19:02:53
19709 5d15a547210b280220ed5097 高中 解答题 自招竞赛 如图两圆 $\Gamma_{1}, \Gamma_{2}$ 交于点A、B，过点 $B$ 的一条直线分别交圆 $\Gamma_{1}, \Gamma_{2}$ 于点 $C、D$，过点 $B$ 的另一条直线分别交圆 $\Gamma_{1}, \Gamma_{2}$ 于点 $E,F$，直线 $CF$ 分别交圆 $\Gamma_{1}, \Gamma_{2}$ 于点 $P,Q$．设 $M,N$ 分别是 $\overparen{P B}, \overparen{Q B}$ 的中点．．若 $CD=EF$，求证：$C,F,M,N$ 四点共圆． 2022-04-17 19:02:53
19708 5d15a94a210b28021fc77a1e 高中 解答题 自招竞赛 设复数 $a、b、c$ 满足：对任意模不超过 $1$ 的复数 $z$，都有 $\left|a z^{2}+b z+c\right| \leqslant 1$．求 $|bc|$ 的最大值． 2022-04-17 19:01:53
19707 5d15b073210b280220ed50d7 高中 解答题 自招竞赛 已知 $m、n$ 是给定的大于 $1$ 的整数，且 $a_{1}<a_{2}<\cdots<a_{m}$ 都是整数．．证明：存在整数集的一个子集 $T$，其元素个数 $|T| \leqslant 1+\frac{a_{m}-a_{1}}{2 n+1}$，且对每个 $i \in\{1,2, \cdots, m\}$，均有 $t \in T$ 及 $s \in[-n, n]$，使得 $a_{i}=t+s$． 2022-04-17 19:00:53
19706 5d15b31b210b28021fc77a43 高中 解答题 自招竞赛 我们对放置于点 $A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{n}(n \geqslant 3)$ 及点 $O$ 处的卡片进行操作．所谓一次操作是指进行下面的一种操作：
（1）若某个点 $A_i$ 处的卡片数目不少于 $3$，则可从中取出 $3$ 张，在点 $A_{i-1}, A_{i+1}$ 及 $O$ 处各放一张 $\left(A_{0}=A_{n}, A_{n+1}=A_{1}\right)$；
（2）若点 $O$ 处的卡片数目不少于 $n$，则可以从中取出 $n$ 张，在点 $A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{n}$ 处各放一张．
证明：只要放置于这 $n+1$ 个点处的卡片总数不少于 $n^2 +3n+1$，则总能通过若干次操作，使每个点处卡片数目均不小于 $n+1$．		 2022-04-17 19:59:52
19705 5d15b8da210b280220ed5103 高中 解答题 自招竞赛 设 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, b_{1}, b_{2}, b_{3}$ 为互不相同的正整数，满足 $\left[(n+1) a_{1}^{n}+n a_{2}^{n}+(n-1) a_{3}^{n}\right]\big|\left[(n+1) b_{1}^{n}+n b_{2}^{n}+(n-1) b_{3}^{n}\right]$ 对任何正整数 $n$ 成立．求证：存在正整数 $k$，使得 $b_{i}=k a_{i}(i=1,2,3)$． 2022-04-17 19:58:52
19704 5d073a72210b28021fc7736f 高中 解答题 自招竞赛 已知正整数 $n\ge2$，所有与 $n$ 互质的正整数 $a$ 都有 $a^n\equiv a\pmod{n}$．证明： 2022-04-17 19:57:52
19703 5d15c6b2210b280220ed5158 高中 解答题 高中习题 从 $1,2,\cdots,50$ 这 $50$ 个正整数中任取 $n$ 个数，在这 $n$ 个数中，总可以找到 $3$ 个数，两两互质．求 $n$ 的最小值． 2022-04-17 19:56:52
19702 5d197941210b280220ed51ed 高中 解答题 高中习题 用九个 $1$，四个 $0$ 排成一个数列，其中没有两个 $0$ 相邻，问共有多少种不同的排法． 2022-04-17 19:55:52
19701 5d197973210b28021fc77b1d 高中 解答题 高中习题 试求每个数码均至少出现两次的五位数的个数． 2022-04-17 19:54:52
19700 5d197a6b210b28021fc77b27 高中 解答题 高中习题 集合 $A$ 中元素均是正整数，具有性质：若 $a\in A$，则 $12-a\in12-a$．试确定这样的 $A$ 的个数． 2022-04-17 19:54:52
19699 5d197b68210b280220ed5205 高中 解答题 高中习题 集合 $A,B,C$ 的并集 $A\bigcup B\bigcup C=\{1,2,\cdots,10\}$，求这样的有序三元组 $(A,B,C)$ 有多少组． 2022-04-17 19:53:52
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