任意给定质数 $p$．证明：只有有限个正整数 $k$，使得存在 $k$ 个不同的整数 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{k}$，满足多项式 $f(x)=\left(x-a_{1}\right)\left(x-a_{2}\right) \cdots\left(x-a_{k}\right)+p$ 在整数范围内可约．
注：多项式 $f(x)$ 在整数范围内可约，是指存在次数小于 $f(x)$ 的整系数多项式 $g(x)$ 和 $h(x)$，使得 $f(x)=g(x) \cdot h(x)$．
注：多项式 $f(x)$ 在整数范围内可约，是指存在次数小于 $f(x)$ 的整系数多项式 $g(x)$ 和 $h(x)$，使得 $f(x)=g(x) \cdot h(x)$．
【难度】
【出处】
2019年爱尖子数学能力测评
【标注】
【答案】
略
【解析】
无
答案
解析
备注
