确定所有由整数构成的非空集合 $S$，满足：若 $m,n\in S$（$m,n$ 可相同），则 $3m-2n\in S$．
【难度】
【出处】
2013第28届CMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
若集合 $S$ 中只有一个整数，则集合 $S$ 满足条件．
下面假设集合 $S$ 中至少有两个不同的整数．则 $S$ 中任两数之差有最小正值，记为 $d$．
从而，存在整数 $a$ 使得 $a+d, a+2 d \in S$．
故 $a+4 d=3(a+2 d)-2(a+d) \in S$
$a-d=3(a+d)-2(a+2 d) \in S$
$a+5 d=3(a+d)-2(a-d) \in S$
$a-2 d=3(a+2 d)-2(a+4 d) \in S$
由上面的构造，知若 $a+k d, a+(k+1) d \in S$ 则 $a+(k \pm 3) d, a+(k-2) d, a+(k+4) d \in S$
由 $S_{0}=\{a+k d | k \in \mathbf{Z}, 3 \not| k\} \subseteq S$，可验证 $S_0$ 满足条件。
若 $S \neq S_{0}$，则对任何 $b \in S \backslash S_{0}$，存在整数 $l$ 使得 $a+l d \leqslant b<a+(l+1) d$．
由于 $l, l+1$ 中至少有一个不是 $3$ 的倍数，故 $a+l d, a+(l+1) d$ 中至少有一个属于 $S_0$．由 $d$ 的最小性，知 $b$ 到 $S_0$ 中数的距离至少是 $d$，故只能 $a+(l+1) d \in S_{0}$，且 $b=a+l d \Rightarrow S \subseteq\{a+k d | k \in \mathbf{Z}\}$．
下面证明：$S=\{a+k d | k \in \mathbf{Z}\}$
任取 $b \in S \backslash S_{0}$，则由
$S \subseteq\{a+k d | k \in \mathbf{Z}\}$
$\Rightarrow b=a+l d, 3 | l$
$\Rightarrow a+l d, a+(l \pm 1) d, a+(l \pm 2) d \in S$
$\Rightarrow a+(l \pm 3) d$
$=3[a+(l \pm 1) d]-2(a+l d) \in S$
由数学归纳知 $a+(l+3 i) d \in S(i \in \mathbf{Z})\Rightarrow\{a+k d | k \in \mathbf{Z}\} \subseteq S$
故 $S=\{a+k d | k \in \mathbf{Z}\}$ 也满足条件．
综上，所求的集合．$S$ 恰有三类：$S=\{a\}$ 或 $S=\{a+k d | k \in \mathbf{Z}, 3 \times k\}$ 或 $S=\{a+k d | k \in \mathbf{Z}\}$
其中，$a, d \in \mathbf{Z}, d>0$．
下面假设集合 $S$ 中至少有两个不同的整数．则 $S$ 中任两数之差有最小正值，记为 $d$．
从而，存在整数 $a$ 使得 $a+d, a+2 d \in S$．
故 $a+4 d=3(a+2 d)-2(a+d) \in S$
$a-d=3(a+d)-2(a+2 d) \in S$
$a+5 d=3(a+d)-2(a-d) \in S$
$a-2 d=3(a+2 d)-2(a+4 d) \in S$
由上面的构造，知若 $a+k d, a+(k+1) d \in S$ 则 $a+(k \pm 3) d, a+(k-2) d, a+(k+4) d \in S$
由 $S_{0}=\{a+k d | k \in \mathbf{Z}, 3 \not| k\} \subseteq S$，可验证 $S_0$ 满足条件。
若 $S \neq S_{0}$，则对任何 $b \in S \backslash S_{0}$，存在整数 $l$ 使得 $a+l d \leqslant b<a+(l+1) d$．
由于 $l, l+1$ 中至少有一个不是 $3$ 的倍数，故 $a+l d, a+(l+1) d$ 中至少有一个属于 $S_0$．由 $d$ 的最小性，知 $b$ 到 $S_0$ 中数的距离至少是 $d$，故只能 $a+(l+1) d \in S_{0}$，且 $b=a+l d \Rightarrow S \subseteq\{a+k d | k \in \mathbf{Z}\}$．
下面证明：$S=\{a+k d | k \in \mathbf{Z}\}$
任取 $b \in S \backslash S_{0}$，则由
$S \subseteq\{a+k d | k \in \mathbf{Z}\}$
$\Rightarrow b=a+l d, 3 | l$
$\Rightarrow a+l d, a+(l \pm 1) d, a+(l \pm 2) d \in S$
$\Rightarrow a+(l \pm 3) d$
$=3[a+(l \pm 1) d]-2(a+l d) \in S$
由数学归纳知 $a+(l+3 i) d \in S(i \in \mathbf{Z})\Rightarrow\{a+k d | k \in \mathbf{Z}\} \subseteq S$
故 $S=\{a+k d | k \in \mathbf{Z}\}$ 也满足条件．
综上，所求的集合．$S$ 恰有三类：$S=\{a\}$ 或 $S=\{a+k d | k \in \mathbf{Z}, 3 \times k\}$ 或 $S=\{a+k d | k \in \mathbf{Z}\}$
其中，$a, d \in \mathbf{Z}, d>0$．
答案
解析
备注
