求所有的正实数 $t$ 满足：存在一个由实数组成的无限集合 $X$，使得对任意的 $x,y,z\in X$（x，y，z可相同），及任意实数 $a$ 与正实数 $d$，均有 $\max \{|x-(a-d)|,|y-a|,|z-(a+d)|\}>t d$．
【难度】
【出处】
2013第28届CMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
（1）$0<t<\dfrac{1}{2}$．
取 $\lambda=\dfrac{2}{1-2 t}$，则 $\lambda >1$
令 $x_{i}=\lambda^{i}, X=\left\{x_{1}, x_{2}, \cdots\right\}$．
假设存在 $a \in \mathbf{R}, d \in \mathbf{R}_+$ 及 $x_{i}, x_{j}, x_{k}$ 满足 $\max \left\{\left|x_{i}-(a-d)\right|,\left|x_{j}-a\right|,\left|x_{k}-(a+d)\right|\right\} \leqslant t d$，
即 $\left\{\begin{array}{l}{(-1-t) d \leqslant x_{i}-a \leqslant(-1+t) d} & ① \\ {-t d \leqslant x_{j}-a \leqslant t d}& ② \\ {(1-t) d \leqslant x_{k}-a \leqslant(1+t) d} & ③ \end{array}\right.$
② - ①，③ - ② 得
$\left\{\begin{array}{l}{(1-2 t) d \leqslant x_{j}-x_{i} \leqslant(1+2 t) d}& ④ \\ {(1-2 t) d \leqslant x_{k}-x_{j} \leqslant(1+2 t) d}& ⑤ \end{array}\right.$
由 $t<\dfrac{1}{2}$，知 $1-2t>0$．
故由式 ④、⑤ 得 $x_{j}-x_{i}>0, x_{k}-x_{j}>0$
结合 $\lambda>1$，知 $i<j<k$．
从而，$\dfrac{x_{k}-x_{j}}{x_{j}-x_{i}} \leqslant \dfrac{1+2 t}{1-2 t}$
又 $\dfrac{x_{k}-x_{j}}{x_{j}-x_{i}} \geqslant \dfrac{x_{k}-x_{k-1}}{x_{k-1}-x_{i}}>\dfrac{x_{k}-x_{k-1}}{x_{k-1}}=\lambda-1=\dfrac{1+2 t}{1-2 t}$ 矛盾．
故上述构造的无限集合 $X$ 满足要求．
（2）$t\geqslant\dfrac{1}{2}$
下面证明：对任意无限集合 $X$ 中任意三个元素 $ x<y<z$，均存在 $a \in \mathbf{R}, d \in \mathbf{R}_{+}$，使得 $\max \{|x-(a-d)|,|y-a|,|z-(a+d)|\} \leqslant t d$．
事实上，令 $a=\dfrac{x+z}{2}, d=z-x$．则
$\max \{|x-(a-d)|,|y-a|,|z-(a+d)|\}=\max \left\{\dfrac{z-x}{2},\left|y-\dfrac{x+z}{2}\right|, \dfrac{z-x}{2}\right\}=\dfrac{z-x}{2}=\dfrac{1}{2} d \leqslant t d$
综上，$0<t<\dfrac{1}{2}$．
取 $\lambda=\dfrac{2}{1-2 t}$，则 $\lambda >1$
令 $x_{i}=\lambda^{i}, X=\left\{x_{1}, x_{2}, \cdots\right\}$．
假设存在 $a \in \mathbf{R}, d \in \mathbf{R}_+$ 及 $x_{i}, x_{j}, x_{k}$ 满足 $\max \left\{\left|x_{i}-(a-d)\right|,\left|x_{j}-a\right|,\left|x_{k}-(a+d)\right|\right\} \leqslant t d$，
即 $\left\{\begin{array}{l}{(-1-t) d \leqslant x_{i}-a \leqslant(-1+t) d} & ① \\ {-t d \leqslant x_{j}-a \leqslant t d}& ② \\ {(1-t) d \leqslant x_{k}-a \leqslant(1+t) d} & ③ \end{array}\right.$
② - ①，③ - ② 得
$\left\{\begin{array}{l}{(1-2 t) d \leqslant x_{j}-x_{i} \leqslant(1+2 t) d}& ④ \\ {(1-2 t) d \leqslant x_{k}-x_{j} \leqslant(1+2 t) d}& ⑤ \end{array}\right.$
由 $t<\dfrac{1}{2}$，知 $1-2t>0$．
故由式 ④、⑤ 得 $x_{j}-x_{i}>0, x_{k}-x_{j}>0$
结合 $\lambda>1$，知 $i<j<k$．
从而，$\dfrac{x_{k}-x_{j}}{x_{j}-x_{i}} \leqslant \dfrac{1+2 t}{1-2 t}$
又 $\dfrac{x_{k}-x_{j}}{x_{j}-x_{i}} \geqslant \dfrac{x_{k}-x_{k-1}}{x_{k-1}-x_{i}}>\dfrac{x_{k}-x_{k-1}}{x_{k-1}}=\lambda-1=\dfrac{1+2 t}{1-2 t}$ 矛盾．
故上述构造的无限集合 $X$ 满足要求．
（2）$t\geqslant\dfrac{1}{2}$
下面证明：对任意无限集合 $X$ 中任意三个元素 $ x<y<z$，均存在 $a \in \mathbf{R}, d \in \mathbf{R}_{+}$，使得 $\max \{|x-(a-d)|,|y-a|,|z-(a+d)|\} \leqslant t d$．
事实上，令 $a=\dfrac{x+z}{2}, d=z-x$．则
$\max \{|x-(a-d)|,|y-a|,|z-(a+d)|\}=\max \left\{\dfrac{z-x}{2},\left|y-\dfrac{x+z}{2}\right|, \dfrac{z-x}{2}\right\}=\dfrac{z-x}{2}=\dfrac{1}{2} d \leqslant t d$
综上，$0<t<\dfrac{1}{2}$．
答案
解析
备注
