两个半径不相等的圆 $\Gamma_{1}, \Gamma_{2}$ 交于点 $A、B$，点 $C、D$ 分别在圆 $\Gamma_{1}, \Gamma_{2}$ 2上，且线段 $CD$ 以 为中点，延长 $DB$ 与圆 $\Gamma_1$ 交于点 $E$，延长 $CB$ 与圆 $\Gamma_2$ 交于点 $F$，设线段 $CD、EF$ 的中垂线分别为 $l_1,l_2$．证明：
（1）$l_1$ 与 $l_2$ 相交；
（2）若 $l_1$ 与 $l_2$ 的交点为 $P$，则三条线段 $CA、AP、PE$ 能构成一个直角三角形．
（1）$l_1$ 与 $l_2$ 相交；
（2）若 $l_1$ 与 $l_2$ 的交点为 $P$，则三条线段 $CA、AP、PE$ 能构成一个直角三角形．
【难度】
【出处】
2013第28届CMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
（1）因为 $C、A、B、E$ 和 $D、A、B、F$ 分别四点共圆，且 $CA =AD$，所以，由圆幂定理得 $C B \cdot C F=C A \cdot C D=D A \cdot D C=D B \cdot D E$ ①
假设 $l_1$ 与 $l_2$ 不相交．则 $C D \parallel E F \Rightarrow \dfrac{C F}{C B}=\dfrac{D E}{D B}$．
代入式 ① 得 $C B^{2}=D B^{2} \Rightarrow C B=D B$．故 $B A \perp C D$．
因此，$CB、DB$ 分别是圆 $\Gamma_{1}, \Gamma_{2}$ 的直径，即圆 $\Gamma_{1}, \Gamma_{2}$ 半径相等，矛盾．
从而，$l_1$ 与 $l_2$ 必相交．
（2）如图
设 $l_1$ 与 $l_2$ 的交点为 $P$．联结 $AE,AF,PF$．
则 $\angle C A E=\angle C B E=\angle D B F=\angle D A F$
由 $A P \perp C D$，知 $AP$ 平分 $\angle E A F$．
又点 $ P$ 在 $EF$ 的中垂线上，故 $P$ 在 $\angle AEF$ 的外接圆上．
则 $\angle E P F=180^{\circ}-\angle E A F=\angle C A E+\angle D A F=2 \angle C A E=2 \angle C B E$
从而，点 $B$ 在以 $P$ 为圆心、$PE$ 为半径的圆 $\Gamma$ 上，记其半径为 $R$．
由圆幂定理得 $2 C A^{2}=C A \cdot C D=C B \cdot C F=C P^{2}-R^{2}$
则 $A P^{2}=C P^{2}-C A^{2}=\left(2 C A^{2}+R^{2}\right)-C A^{2}=C A^{2}+P E^{2}$
故线段 $CA、AP、PE$ 可构成直角三角形．
假设 $l_1$ 与 $l_2$ 不相交．则 $C D \parallel E F \Rightarrow \dfrac{C F}{C B}=\dfrac{D E}{D B}$．
代入式 ① 得 $C B^{2}=D B^{2} \Rightarrow C B=D B$．故 $B A \perp C D$．
因此，$CB、DB$ 分别是圆 $\Gamma_{1}, \Gamma_{2}$ 的直径，即圆 $\Gamma_{1}, \Gamma_{2}$ 半径相等，矛盾．
从而，$l_1$ 与 $l_2$ 必相交．
（2）如图
设 $l_1$ 与 $l_2$ 的交点为 $P$．联结 $AE,AF,PF$．则 $\angle C A E=\angle C B E=\angle D B F=\angle D A F$
由 $A P \perp C D$，知 $AP$ 平分 $\angle E A F$．
又点 $ P$ 在 $EF$ 的中垂线上，故 $P$ 在 $\angle AEF$ 的外接圆上．
则 $\angle E P F=180^{\circ}-\angle E A F=\angle C A E+\angle D A F=2 \angle C A E=2 \angle C B E$
从而，点 $B$ 在以 $P$ 为圆心、$PE$ 为半径的圆 $\Gamma$ 上，记其半径为 $R$．
由圆幂定理得 $2 C A^{2}=C A \cdot C D=C B \cdot C F=C P^{2}-R^{2}$
则 $A P^{2}=C P^{2}-C A^{2}=\left(2 C A^{2}+R^{2}\right)-C A^{2}=C A^{2}+P E^{2}$
故线段 $CA、AP、PE$ 可构成直角三角形．
答案
解析
备注
