设 ${{a}_{1}}=1$，${{a}_{n+1}}={{\left( 1+\dfrac{1}{n} \right)}^{3}}\left( n+{{a}_{n}} \right)$，求证：
【难度】
【出处】
2018年中国科学技术大学自主招生试题
【标注】
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$\displaystyle {{a}_{n}}={{n}^{3}}\left( 1+\sum\limits_{k=1}^{n-1}{\frac{1}{{{k}^{2}}}} \right)$；标注答案略解析$\dfrac{{{a}_{n+1}}}{{{\left( n+1\right)}^{3}}}=\dfrac{{{a}_{n}}}{{{n}^{3}}}+\dfrac{1}{{{n}^{2}}}$，叠加可得答案．
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$\displaystyle \prod\limits_{k=1}^{n}{\left( 1+\frac{k}{{{a}_{k}}} \right)<3}$．标注答案略解析$1+\dfrac{k}{{{a}_{k}}}=\dfrac{{{a}_{k}}+k}{{{a}_{k}}}=\dfrac{{{k}^{3}}{{a}_{k+1}}}{{{\left(k+1 \right)}^{3}}{{a}_{k}}}$
$\displaystyle \prod\limits_{k=1}^{n}{\left(1+\dfrac{k}{{{a}_{k}}} \right)}=\frac{{{a}_{n+1}}}{{{\left( n+1 \right)}^{3}}}=$ $\displaystyle 1+\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{1}{{{k}^{2}}}}<2+\sum\limits_{k=1}^{n-1}{\frac{1}{k\left(k+1 \right)}}=3-\frac{1}{n}<3$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
