设 $a, b, c$ 为 $\triangle ABC$ 的三条边，$a\leqslant b\leqslant c$，$R$ 和 $r$ 分别为 $\triangle ABC$ 的外接圆半径和内切圆半径，令 $f=a+b-2 R-2 r$，试用 $\angle C$ 的大小来判定 $f$ 的符号．
【难度】
【出处】
2000第15届CMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
用 $A,B,C$ 分别表示 $\triangle ABC$ 的三个内角．熟知 $a=2 R \sin A, b=2 R \sin B,r=4 R \sin \dfrac{A}{2} \sin \dfrac{B}{2} \sin \dfrac{C}{2}$ 于是
$f=2 R\left(\sin A+\sin B-1-4 \sin \dfrac{A}{2} \sin \dfrac{B}{2} \sin \dfrac{C}{2}\right)=2R\left(2 \sin \dfrac{B+A}{2} \cos \dfrac{B-A}{2}-1+\right.2\left(\cos \dfrac{B+A}{2}-\cos \dfrac{B-A}{2}\right)\sin \dfrac{C}{2}) $
$= 4 R \cos \dfrac{B-A}{2}\left(\sin \dfrac{B+A}{2}-\sin \dfrac{C}{2}\right)- 2 R+4 R \cos \dfrac{\pi-C}{2} \sin \dfrac{C}{2}=4 R \cos \dfrac{B-A}{2}\left(\sin \dfrac{\pi-C}{2}-\sin \dfrac{C}{2}\right)-2 R+4 R \sin^2 \dfrac{C}{2}\\=4 R \cos \dfrac{B-A}{2}\left(\cos \dfrac{C}{2}-\sin \dfrac{C}{2}\right)-2 R\left(\cos ^{2} \dfrac{C}{2}-\sin ^{2} \dfrac{C}{2}\right)=2 R\left(\cos \dfrac{C}{2}-\sin \dfrac{C}{2}\right)\left(2 \cos \dfrac{B-A}{2}-\cos \dfrac{C}{2}-\sin \dfrac{C}{2}\right)$
令 $A \leqslant B \leqslant C$，所以 $0 \leqslant B-A<B \leqslant C$ 又 $0 \leqslant B-A<B+A$，因此 $\begin{aligned} \cos \frac{B-A}{2} &>\cos \frac{C}{2} \cos \frac{B-A}{2}>\cos \frac{B+A}{2} =\cos \frac{\pi-C}{2}=\sin \frac{C}{2} \end{aligned}$ 所以 $2 \cos \dfrac{B-A}{2}>\cos \dfrac{C}{2}+\sin \dfrac{C}{2}$ 则 $f>0 \Leftrightarrow \cos \dfrac{C}{2}>\sin \dfrac{C}{2} \Leftrightarrow C<\dfrac{\pi}{2}$
$f=0 \Leftrightarrow \cos \dfrac{C}{2}=\sin \dfrac{C}{2} \Leftrightarrow C=\dfrac{\pi}{2}$
$f<0 \Leftrightarrow \cos \dfrac{C}{2}<\sin \dfrac{C}{2} \Leftrightarrow C>\dfrac{\pi}{2}$
$f=2 R\left(\sin A+\sin B-1-4 \sin \dfrac{A}{2} \sin \dfrac{B}{2} \sin \dfrac{C}{2}\right)=2R\left(2 \sin \dfrac{B+A}{2} \cos \dfrac{B-A}{2}-1+\right.2\left(\cos \dfrac{B+A}{2}-\cos \dfrac{B-A}{2}\right)\sin \dfrac{C}{2}) $
$= 4 R \cos \dfrac{B-A}{2}\left(\sin \dfrac{B+A}{2}-\sin \dfrac{C}{2}\right)- 2 R+4 R \cos \dfrac{\pi-C}{2} \sin \dfrac{C}{2}=4 R \cos \dfrac{B-A}{2}\left(\sin \dfrac{\pi-C}{2}-\sin \dfrac{C}{2}\right)-2 R+4 R \sin^2 \dfrac{C}{2}\\=4 R \cos \dfrac{B-A}{2}\left(\cos \dfrac{C}{2}-\sin \dfrac{C}{2}\right)-2 R\left(\cos ^{2} \dfrac{C}{2}-\sin ^{2} \dfrac{C}{2}\right)=2 R\left(\cos \dfrac{C}{2}-\sin \dfrac{C}{2}\right)\left(2 \cos \dfrac{B-A}{2}-\cos \dfrac{C}{2}-\sin \dfrac{C}{2}\right)$
令 $A \leqslant B \leqslant C$，所以 $0 \leqslant B-A<B \leqslant C$ 又 $0 \leqslant B-A<B+A$，因此 $\begin{aligned} \cos \frac{B-A}{2} &>\cos \frac{C}{2} \cos \frac{B-A}{2}>\cos \frac{B+A}{2} =\cos \frac{\pi-C}{2}=\sin \frac{C}{2} \end{aligned}$ 所以 $2 \cos \dfrac{B-A}{2}>\cos \dfrac{C}{2}+\sin \dfrac{C}{2}$ 则 $f>0 \Leftrightarrow \cos \dfrac{C}{2}>\sin \dfrac{C}{2} \Leftrightarrow C<\dfrac{\pi}{2}$
$f=0 \Leftrightarrow \cos \dfrac{C}{2}=\sin \dfrac{C}{2} \Leftrightarrow C=\dfrac{\pi}{2}$
$f<0 \Leftrightarrow \cos \dfrac{C}{2}<\sin \dfrac{C}{2} \Leftrightarrow C>\dfrac{\pi}{2}$
答案
解析
备注
