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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
19778 5d0b568e210b28021fc77585 高中 解答题 自招竞赛 对于平面上任意 4 个不同的点 $P_{1}, P_{2}, P_{3}, P_{4}$，求比值 $\displaystyle \dfrac{\sum\limits_{1\leqslant i<j\leqslant4 }P_iP_j}{\min\limits_{1\leqslant i<j\leqslant 4}P_iP_j}$ ① 的最小值． 2022-04-17 19:37:53
19777 5d0c5195210b280220ed49c6 高中 解答题 自招竞赛 平面上横纵坐标都为有理数的点称为有理点．
求证：平面上的全体有理点可分成 $3$ 个两两不交的集合，满足条件：
（1）在以每个有理点为圆心的任一圆内一定包含 $3$ 个点分属于这 $3$ 个集合；
（2）在任何一条直线上都不可能有 $3$ 个点分别属于这 $3$ 个集合．		 2022-04-17 19:37:53
19776 5d0c7ffe210b28021fc775d5 高中 解答题 自招竞赛 给定 $c \in (\dfrac{1}{2},1)$．求最小常数 $M$，使对任意整数 $n\geqslant 2$ 及实数 $0<a_{1} \leqslant a_{2} \leqslant \cdots \leqslant a_{n}$，只要满足 $\displaystyle \frac{1}{n} \sum\limits_{k=1}^{n} k a_{k}=c \sum_{k=1}^{n} a_{k}$ ① 总有 $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{n} a_{k} \leqslant M \sum_{k=1}^{n} a_{k}$ 其中 $m = [cn]$ 表示不超过 $cn$ 的最大整数． 2022-04-17 19:36:53
19775 5c8f566d210b286d125ef38d 高中 解答题 自招竞赛 复数 $z\text{=}a+bi$ 满足 $\left| z \right|\text{=}5,b>0$，且使得复平面上两 $m\text{,}n$ 点 $\left( 1+2i \right){{z}^{3}}$ 和 ${{z}^{5}}$ 距离达到最大。令 ${{z}^{4}}\text{=}c+di$ 。求 $c+d$ 。 2022-04-17 19:35:53
19774 5d0c877c210b280220ed4a25 高中 解答题 自招竞赛 设点 $ I,H$ 分别为锐角 $\triangle ABC $ 的内心和垂心，点 $ B_1,C_1$ 分别为边 $AC,AB$ 的中点．已知射线 $B_1I$ 交边 $ AB $ 于点 $B_2(B_2\ne B)$，射线 $ C_1I$ 交 $AC$ 的延长线于点 $C_2$，$ B_2C_2$ 与 $BC $ 相交于 $K$，$A_1$ 为 $\triangle BHC$ 的外心．试证：$A,I,A_1$ 三点共线的充分必要条件是 $\triangle BKB_2$ 和 $\triangle CKC_2$ 的面积相等． 2022-04-17 19:35:53
19773 5d0c90b8210b28021fc7760a 高中 解答题 自招竞赛 求出同时满足如下条件的集合 $S$ 的元素个数的最大值：
（1）$S$ 中的每个元素都是不超过 $100$ 的正整数；
（2）对于 $S$ 中任意两个不同的元素 $a,b$，都存在 $S$ 中的元素 $c$，使得 $a$ 与 $ c $ 的最大公约数等于 $ 1 $，并且 $ b $ 与 $ c $ 的最大公约数也等于 $ 1 $；
（3）对于 $ S $ 中任意两个不同的元素 $ a,b $，都存在 $ S $ 中异于 $ a,b $ 的元素 $ d $，使得 $ a $ 与 $ d $ 的最大公约数大于 $ 1 $，并且 $ b $ 与 $ d $ 的 最大公约数也大于 $ 1$．		 2022-04-17 19:35:53
19772 5d0caf47210b280220ed4a77 高中 解答题 自招竞赛 给定正整数 $ n$，求最小的正数 $\lambda$，使得对于任何 $\theta_i\in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)(i=1,2, \cdots, n)$，只要 $\tan \theta_{1} \cdot \tan \theta_{2} \cdots \cdots \cdot \tan \theta_{n}=2^{\tfrac{n}{2}}$，就有 $\cos \theta_{1}+\cos \theta_{2}+\cdots+\cos \theta_{n}$ 不大于 $\lambda$． 2022-04-17 19:34:53
19771 5d103eea210b280220ed4b2c 高中 解答题 自招竞赛 凸四边形 $EFGH$ 的顶点 $E,F,G,H $ 分别在凸四边形 $ABCD$ 的边 $AB,BC,CD,DA$ 上，满足 $\dfrac{A E}{E B} \cdot \dfrac{B F}{F C} \cdot \dfrac{C G}{G D} \cdot \dfrac{D H}{H A}=1$ 而点 $A,B,C,D$ 分别在凸四边形 $E_{1} F_{1} G_{1} H_{1}$ 的边 $H_{1} E_{1}, E_{1} F_{1},F_{1} G_{1}, G_{1} H_{1}$ 上，满足 $E_{1} F_{1} \parallel E F, F_{1} G_{1} \parallel F G, G_{1} H_{1} \parallel G H,H_{1} E_{1} \parallel H E$．已知 $\dfrac{E_{1} A}{A H_{1}}=\lambda$，求 $\dfrac{F_{1} C}{C G_{1}}$ 的值． 2022-04-17 19:34:53
19770 5d1064af210b280220ed4b7f 高中 解答题 自招竞赛 给定实数 $a$ 和正整数 $n$，求证：
（1）存在唯一的实数数列 $x_0,x_1, \cdots,x_n,x_{n+ 1}$，满足
$\left\{\begin{array}{l}{x_{0}=x_{n+1}=0} \\ {\dfrac{1}{2}\left(x_{i+1}+x_{i1}\right)=x_{i}+x_{i}^{3}-a^{3}, i=1,2, \cdots, n}\end{array}\right.$
（2）（1）中的数列 $x_{0}, x_{1}, \cdots, x_{n}, x_{n+1}$ 满足 $\left|x_{i}\right| \leqslant|a|, i=0,1, \cdots, n+1$		 2022-04-17 19:33:53
19769 5d104302210b28021fc776ba 高中 解答题 高中习题 如图，梯形 $ABCD$，$AD/ /{BC}$，$AC$ 与 $BD$ 交于点 $E$，$BC=BD$，$CD=CE$，$\angle ABD=15^{\circ}$，求证：$\triangle ABC$ 是等腰直角三角形． 2022-04-17 19:33:53
19768 5d10a5b1210b280220ed4c13 高中 解答题 高中习题 在 $20\times20$ 的方格表中，左上角和右上角的两格称为"keyword格"，不能涂黑．一开始．$400$ 个格全白，两格被称为相邻的，当且仅当有一条公共边．给定一种部分涂黑的染法，使得任意一个黑格 $N_0$，存在白格 $N_1.N_2,\cdots,N_n$ 及 $n\in\mathbb{N}^{\ast}$，对 $i=0.1,\cdots,n-1$，$N_i$ 与 $N_{i+1}$ 相邻，$N_n$ 为keyword格，称这种染法为好染色．求所有的染色中，黑格个数最大可能值． 2022-04-17 19:32:53
19767 5d10849c210b28021fc77732 高中 解答题 自招竞赛 一圆与 $\triangle ABC$ 的三边 $BC, CA,AB$ 的交点依次为 $D_1 ,D_2; E_1 ,E_2 ,F_1,F_2$．线段 $D_1E_1$ 与 $D_2F_2$ 交于点 $L$，线段 $E_1 F_1$ 与 $E_2D_2$ 交于点 $M$，线段 $F_1D_1 $ 与 $F_2E_2$ 交于点 $N$．证明：$AL,BM, CN$ 三线共点． 2022-04-17 19:32:53
19766 5d10a5de210b28021fc7774f 高中 解答题 自招竞赛 已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足条件 $a_{1}=\dfrac{21}{16}$，及 $2 a_{n}-3 a_{n-1}=\dfrac{3}{2^{n+1}}, n \geqslant 2$ ①
设 $m$ 为正整数，$m\geqslant 2$．证明：当 $n\leqslant m$ 时，有 $\left(a_{n}+\dfrac{3}{2^{n+3}}\right)^{\tfrac{1}{m}}\left(m-\left(\dfrac{2}{3}\right)^{\tfrac{n(m-1)}{m}}\right)<\dfrac{m^{2}-1}{m-n+1}$ ②		 2022-04-17 19:31:53
19765 5d1184be210b280220ed4c64 高中 解答题 自招竞赛 求方程 $2^{x} \cdot 3^{y}-5^{x} \cdot 7^{w}=1$ 的所有非负整数解 $(x,y,z,w)$． 2022-04-17 19:31:53
19764 5d11b338210b280220ed4ce1 高中 解答题 自招竞赛 艾米和鲍勃在玩一个游戏。游戏一开始，艾米在黑板上写下一个正整数，之后两人轮流进行行动，鲍勃先开始。在鲍勃的轮次中，鲍勃会将黑板上的数字 $n$ 替换为 $n-a^2$，其中 $a$ 为正整数。在艾米的行动轮次中，她会将黑板上的数字 $n$ 替换为 $n^k$，其中 $k$ 为正整数。如果黑板上的数字变为零，则鲍勃获胜。提问艾米是否有策略来防止鲍勃获胜？（Russian Maxim Didin） 2022-04-17 19:30:53
19763 5d11b342210b280220ed4ce4 高中 解答题 自招竞赛 艾米和鲍勃在玩一个游戏。游戏一开始，艾米在黑板上写下一个正整数，之后两人轮流进行行动，鲍勃先开始。在鲍勃的轮次中，鲍勃会将黑板上的数字 $n$ 替换为 $n-a^2$，其中 $a$ 为正整数。在艾米的行动轮次中，她会将黑板上的数字 $n$ 替换为 $n^k$，其中 $k$ 为正整数。如果黑板上的数字变为零，则鲍勃获胜。提问艾米是否有策略来防止鲍勃获胜？（Russian Maxim Didin） 2022-04-17 19:29:53
19762 5d118b1d210b280220ed4ca1 高中 解答题 自招竞赛 实数 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$ 满足 $a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}=0$，求证：$\displaystyle \max\limits _{1 \leqslant k \leqslant n}\left(a_{k}^{2}\right) \leqslant \dfrac{n}{3} \sum\limits_{i = 1}^{n-1}\left(a_{i}-a_{i+1}\right)^{2}$ 2022-04-17 19:29:53
19761 5d11917a210b28021fc777b5 高中 解答题 自招竞赛 正整数 $m,n,k$ 满足 $mn = k^2 + k + 3$，证明不定方程 $x^{2}+11 y^{2}=4 m$ 和 $x^{2}+11 y^{2}=4 n$ 中至少有一个有奇数解 $(x,y)$． 2022-04-17 19:28:53
19760 5d11c4d4210b28021fc777f0 高中 解答题 自招竞赛 在 $\mathrm{Rt} \triangle A B C$ 中，$\angle ACB=90^\circ,\triangle ABC$，的内切圆 $O$ 分别于与 $BC, CA ,AB$ 相切于点 $D,E,F$，联结 $AD$，与内切圆 $O$ 相交于点 $P$．联结 $BP,CP$，若 $\angle B P C=90^{\circ}$，求证：$ AE +AP= PD$． 2022-04-17 19:28:53
19759 5d11cbeb210b280220ed4d5b 高中 解答题 自招竞赛 实数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_{1}=\dfrac{1}{2},a_{k+1}=-a_{k}+\dfrac{1}{2-a_{k}}, k=1,2, \cdots$
证明：不等式 $\left(\dfrac{n}{2\left(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}\right)}-1\right)^{n} \leqslant\left(\dfrac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{n}\right)^{n} \leqslant\left(\dfrac{1}{a_{1}}-1\right)\left(\dfrac{1}{a_{2}}-1\right) \cdots\left(\dfrac{1}{a_{n}}-1\right)$		 2022-04-17 19:27:53
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