已知 $x_1,x_2,\cdots,x_n,y_1,y_2,\cdots,y_m\in\mathbb{N}^{\ast}$，且 $1<x_1<x_2<\cdots<x_n<y_1<y_2<\cdots<y_m$，$x_1+x_2+\cdots+x_n>y_1+y_2+\cdots+y_m$，求证：$x_1x_2\cdots{x_n}>y_1y_2\cdots y_m$
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
易知 $n\ge2,x_1\ge2,y_1\ge4$．由函数 $f(x)=x^{\frac{1}{x}}$ 的单调性容易得到 $f(3)>f(2)=f(4)>f(k)>f(k+1)$，其中 $k\ge5,k\in\mathbb{N}$，以及 $y>x>3$，则 $y=y^{\frac{y}{y}}<x^{\frac{y}{x}}$．
于是 $y_1y_2\cdots y_m<y_1y_1^{\frac{y_2}{y_1}}\cdots y_1^{\frac{y_m}{y_1}}=y_1^{\frac{y_1+y_2+\cdots+y_m}{y_1}}<y_1^{\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{y_1}}=y_1^{\frac{x_1}{y_1}}y_1^{\frac{x_2}{y_2}}\cdots y_1^{\frac{x_n}{y_1}}<x_1x_2\cdots x_n$．
于是 $y_1y_2\cdots y_m<y_1y_1^{\frac{y_2}{y_1}}\cdots y_1^{\frac{y_m}{y_1}}=y_1^{\frac{y_1+y_2+\cdots+y_m}{y_1}}<y_1^{\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{y_1}}=y_1^{\frac{x_1}{y_1}}y_1^{\frac{x_2}{y_2}}\cdots y_1^{\frac{x_n}{y_1}}<x_1x_2\cdots x_n$．
答案
解析
备注
