设 $a, b, c, a+b-c, a+c-b, b+c-a, a+b+c$ 是 $7$ 个两两 不同的质数，$a,b,c$ 中有两数之和是 $800$．设 $d$ 是这 $7$ 个质数中最大数与最小数之差．求 $ d$ 的最大可能值．
【难度】
【出处】
2001第16届CMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
不妨设 $a<b < c$，于是，$7$ 个数中 $a+ b - c$ 最小，而 $a + b + c$ 最大，从而有 $d=(a+b+c)-(a+b-c)=2 c$ 问题化为求 $c$ 的最大可能值．因为 $a+b-c >0$ 所以 $c<a+b<a+c<b+c$
因为 $a+b, a+c, b+c$ 中 $1$ 个数为 $800$，所以 $c<800$ 由于 $799 = 17 \times 47$ 和 $798$ 都不同 质数，而 $797$ 为质数，故有 $c \leqslant 797, d \geqslant 1594$．
另一方面，当 $a+b= 800$ 时，注意到
$a=5, b=795$
$a=7, b=793=13 \times 61$
$a=11, b=789=3 \times 263$
都不全是质数，从而不能满足题中要求．
而 $a = 13, b = 787$ 都是质数，这时 $a+ b -c = 3,a +c-b=23$ 也都是质数容易验证，$b+c-a =1 571$ 和 $a+b +c=1 597$ 也都是质数．
综上可知，$d$ 的最大可能值为 $1 594$．
因为 $a+b, a+c, b+c$ 中 $1$ 个数为 $800$，所以 $c<800$ 由于 $799 = 17 \times 47$ 和 $798$ 都不同 质数，而 $797$ 为质数，故有 $c \leqslant 797, d \geqslant 1594$．
另一方面，当 $a+b= 800$ 时，注意到
$a=5, b=795$
$a=7, b=793=13 \times 61$
$a=11, b=789=3 \times 263$
都不全是质数，从而不能满足题中要求．
而 $a = 13, b = 787$ 都是质数，这时 $a+ b -c = 3,a +c-b=23$ 也都是质数容易验证，$b+c-a =1 571$ 和 $a+b +c=1 597$ 也都是质数．
综上可知，$d$ 的最大可能值为 $1 594$．
答案
解析
备注
