某乒乓球俱乐部组织交流活动，安排符合以下规则的双打赛程表，规则为：
（1）每名参加者至多属于两个对子；
（2）任意两个不同对子之间至多进行一次双打；
（3）凡表中同属一对的两人就不在任何双打中作为对手相遇．
统计各人参加的双打次数，约定将所有不同的次数组成的集合称为＂ 赛次集"．
给定由不同的正整数组成的集合 $A=\left\{a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{k}\right\}$，其中每个数都能被 $6$ 整除．试问最少必须有多少人参加活动，才可以安排符合上述规则的赛程表，使得相应的赛次集恰为 $A$．请证明你的结论．
（1）每名参加者至多属于两个对子；
（2）任意两个不同对子之间至多进行一次双打；
（3）凡表中同属一对的两人就不在任何双打中作为对手相遇．
统计各人参加的双打次数，约定将所有不同的次数组成的集合称为＂ 赛次集"．
给定由不同的正整数组成的集合 $A=\left\{a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{k}\right\}$，其中每个数都能被 $6$ 整除．试问最少必须有多少人参加活动，才可以安排符合上述规则的赛程表，使得相应的赛次集恰为 $A$．请证明你的结论．
【难度】
【出处】
2000第15届CMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
（1）设 $a_{1}<a_{2}<\cdots<a_{k}$，并设所安排的赛程表中某参
加者的赛次为 $a_k$．若该参加者仅属一个对子，则另有 $a_k$ 对与该对进行双打，因而至少另有 $a_k$ 人，总人数不少于 $a_{k} + 2$．若赛次为 $a_k$ 的参加者属两个对子，则至少另有 $\dfrac{a_k}{2}$ 对与这两对进行双打，因而至少另有 $\dfrac{a_k}{2}$ 人，总人数不少于夸 $\dfrac{a_k}{2} + 3(< a_k + 2)$．因此，参加者总数不少于 $\dfrac{a_{k}}{2}+3$．
（2）设 $a_{1}<a_{2}<\cdots<a_{k}$．将证明，若有 $\dfrac{a_{k}}{2}+3$ 名参加者，则可安排符合规则的赛程表使得相应的赛次集恰为 $A=\left\{a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{k}\right\}$，并且每名参加者都属两个对子．将对 $k$ 作归纳完成这一结论的证明．
（i）$k=1$ 时，将 $\dfrac{a_{1}}{2}+3$ 人分成三人小组，每小组中任两人结为对子，所有不同组的对子进行双打．于是，每人的赛次都为 $2 \times \dfrac{a_{1}}{2}=a_{1}$
（ii）$k = 2$ 时，将 $\dfrac{a_2}{2}+3$ 人分成 $S$ 和 $T$ 两大组，要求 $|S|=\dfrac{a_{1}}{2},|T|=\dfrac{a_{2}-a_{1}}{2}+3$ 将 $S$ 和 $T$ 各分成三人小组，每个三人小组中的任两人结为对子．
安排 $S$ 大组的每个三人小组中的对子与该三人组以外所有其他对子进行双打；安排 $T$ 大组的每个三人小组中的对子只与 $S$ 大组中的对子进行双打．于是，$S$ 大组中每人的赛次为 $2\left(\dfrac{a_{1}}{2}-3+\dfrac{a_{2}-a_{1}}{2}+3\right)=a_{2}$ T大组中每人的赛次为 $2 \times \dfrac{a_{1}}{2}=a_{1}$
（iii）假定对于 $k = h - 1$ 和 $k = h$ 情形所述结论成立，考察 $k = h + 1$ 情形，即 $A=\left\{a_{1}, \cdots, a_{h}, a_{h+1} \right\},a_{1}<a_{2}<\cdots<a_{h}<a_{h+1}$ 设有 $\dfrac{a_{h+1}}{2}+3$ 名参加者，将这些参加者分成 $S$，$T$ 和 $U$ 三大组，要求 $|S|=\dfrac{a_{1}}{2},|T|=\dfrac{a_{h}-a_{1}}{2}+3,|u|=\dfrac{a_{h+1}-a_{h}}{2}$ 再将 $S,T,U$ 三大组各分成三人小组，每一小组内的任两人
结成对子．安排 $S$ 大组每个三人组的对子与各大组中所有其他的对子进行双打．
安排 $T$ 大组每个三人组的对子都与 $S$ 大组中的对子进行双打，另外，还在 $T$ 大组内安排赛次集为 $A^{\prime}=\{ a_{2}-a_{1}, \cdots, a_{h}-a_{1} \}$ 的T大组内的赛程（根据归纳假设，这样的安排可实现）．
安排 $U$ 大组每个三人组的对子只与 $S$ 大组中的对子进行双打．这样安排的赛程表符合规则．$S$ 大组内参加者的赛次为 $2\left(\dfrac{a_{1}}{2}-3+\dfrac{a_{h}-a_{1}}{2}+3+\dfrac{a_{h+1}+a_{h}}{2}\right)=a_{h+1}$
$T$ 大组内参加者的赛次分别为以下这些数 $2 \times \dfrac{a_{1}}{2}+\left(a_{j}-a_{1}\right)=a_{j}, j=2, \cdots, h$
$U$ 大组内参加者的赛次为 $2 \times \dfrac{a_{1}}{2}=a_{1}$
因此，与所安排的赛程表相应的赛次集恰为 $A=\{ a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{h}, a_{h+1} \}$
至此，我们证明了如下结论：
如果 $A=\left\{a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{k}\right\}, a_{1}<a_{2}<\cdots<a_{k}$，并且有 $\dfrac{a_{k}}{2}+3$ 名参加者，那么，可安排符合规则的赛程表，使得相应的赛次表恰为 $A$，并且 $\dfrac{a_{k}}{2}+3$ 是满足上述要求的奻少参加者人数．
加者的赛次为 $a_k$．若该参加者仅属一个对子，则另有 $a_k$ 对与该对进行双打，因而至少另有 $a_k$ 人，总人数不少于 $a_{k} + 2$．若赛次为 $a_k$ 的参加者属两个对子，则至少另有 $\dfrac{a_k}{2}$ 对与这两对进行双打，因而至少另有 $\dfrac{a_k}{2}$ 人，总人数不少于夸 $\dfrac{a_k}{2} + 3(< a_k + 2)$．因此，参加者总数不少于 $\dfrac{a_{k}}{2}+3$．
（2）设 $a_{1}<a_{2}<\cdots<a_{k}$．将证明，若有 $\dfrac{a_{k}}{2}+3$ 名参加者，则可安排符合规则的赛程表使得相应的赛次集恰为 $A=\left\{a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{k}\right\}$，并且每名参加者都属两个对子．将对 $k$ 作归纳完成这一结论的证明．
（i）$k=1$ 时，将 $\dfrac{a_{1}}{2}+3$ 人分成三人小组，每小组中任两人结为对子，所有不同组的对子进行双打．于是，每人的赛次都为 $2 \times \dfrac{a_{1}}{2}=a_{1}$
（ii）$k = 2$ 时，将 $\dfrac{a_2}{2}+3$ 人分成 $S$ 和 $T$ 两大组，要求 $|S|=\dfrac{a_{1}}{2},|T|=\dfrac{a_{2}-a_{1}}{2}+3$ 将 $S$ 和 $T$ 各分成三人小组，每个三人小组中的任两人结为对子．
安排 $S$ 大组的每个三人小组中的对子与该三人组以外所有其他对子进行双打；安排 $T$ 大组的每个三人小组中的对子只与 $S$ 大组中的对子进行双打．于是，$S$ 大组中每人的赛次为 $2\left(\dfrac{a_{1}}{2}-3+\dfrac{a_{2}-a_{1}}{2}+3\right)=a_{2}$ T大组中每人的赛次为 $2 \times \dfrac{a_{1}}{2}=a_{1}$
（iii）假定对于 $k = h - 1$ 和 $k = h$ 情形所述结论成立，考察 $k = h + 1$ 情形，即 $A=\left\{a_{1}, \cdots, a_{h}, a_{h+1} \right\},a_{1}<a_{2}<\cdots<a_{h}<a_{h+1}$ 设有 $\dfrac{a_{h+1}}{2}+3$ 名参加者，将这些参加者分成 $S$，$T$ 和 $U$ 三大组，要求 $|S|=\dfrac{a_{1}}{2},|T|=\dfrac{a_{h}-a_{1}}{2}+3,|u|=\dfrac{a_{h+1}-a_{h}}{2}$ 再将 $S,T,U$ 三大组各分成三人小组，每一小组内的任两人
结成对子．安排 $S$ 大组每个三人组的对子与各大组中所有其他的对子进行双打．
安排 $T$ 大组每个三人组的对子都与 $S$ 大组中的对子进行双打，另外，还在 $T$ 大组内安排赛次集为 $A^{\prime}=\{ a_{2}-a_{1}, \cdots, a_{h}-a_{1} \}$ 的T大组内的赛程（根据归纳假设，这样的安排可实现）．
安排 $U$ 大组每个三人组的对子只与 $S$ 大组中的对子进行双打．这样安排的赛程表符合规则．$S$ 大组内参加者的赛次为 $2\left(\dfrac{a_{1}}{2}-3+\dfrac{a_{h}-a_{1}}{2}+3+\dfrac{a_{h+1}+a_{h}}{2}\right)=a_{h+1}$
$T$ 大组内参加者的赛次分别为以下这些数 $2 \times \dfrac{a_{1}}{2}+\left(a_{j}-a_{1}\right)=a_{j}, j=2, \cdots, h$
$U$ 大组内参加者的赛次为 $2 \times \dfrac{a_{1}}{2}=a_{1}$
因此，与所安排的赛程表相应的赛次集恰为 $A=\{ a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{h}, a_{h+1} \}$
至此，我们证明了如下结论：
如果 $A=\left\{a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{k}\right\}, a_{1}<a_{2}<\cdots<a_{k}$，并且有 $\dfrac{a_{k}}{2}+3$ 名参加者，那么，可安排符合规则的赛程表，使得相应的赛次表恰为 $A$，并且 $\dfrac{a_{k}}{2}+3$ 是满足上述要求的奻少参加者人数．
答案
解析
备注
