已知 $a,b,c>0$，求 $\dfrac{abc}{\left( 1+5a\right)\left( 4a+3b \right)\left( 5b+6c \right)\left( c+18 \right)}$ 的最大值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
相当于求 $\dfrac{1}{20\left( 1+5a\right)\left( 1+\dfrac{3b}{4a} \right)\left( 1+\dfrac{6c}{5b} \right)\left( 1+\dfrac{18}{c}\right)}$ 的最值，
换元 $x=5a$，$y=\dfrac{3b}{4a}$，$z=\dfrac{6c}{5b}$，$t=\dfrac{18}{c}$，即 $xyzt=81$
求 $\dfrac{1}{20\left( 1+x\right)\left( 1+y \right)\left( 1+z \right)\left( 1+t \right)}$ 的最大值．
$\displaystyle \left( 1+x \right)\left( 1+y\right)\left( 1+z \right)\left( 1+t\right)=1+\sum{x}+\sum{xy}+\sum{xyz}+xyzt\geqslant 1+12+54+108+81=256$
等号当且仅当 $x=y=z=t=3$ 获得
原式最大值为 $\dfrac{1}{5120}$（等号成立条件 $a=\dfrac{3}{5},b=\dfrac{12}{5},c=6$）．
换元 $x=5a$，$y=\dfrac{3b}{4a}$，$z=\dfrac{6c}{5b}$，$t=\dfrac{18}{c}$，即 $xyzt=81$
求 $\dfrac{1}{20\left( 1+x\right)\left( 1+y \right)\left( 1+z \right)\left( 1+t \right)}$ 的最大值．
$\displaystyle \left( 1+x \right)\left( 1+y\right)\left( 1+z \right)\left( 1+t\right)=1+\sum{x}+\sum{xy}+\sum{xyz}+xyzt\geqslant 1+12+54+108+81=256$
等号当且仅当 $x=y=z=t=3$ 获得
原式最大值为 $\dfrac{1}{5120}$（等号成立条件 $a=\dfrac{3}{5},b=\dfrac{12}{5},c=6$）．
答案
解析
备注
