求所有的二次实系数多项式 $f\left( x \right)={{x}^{2}}+ax+b$，使得 $f\left( x \right)|f\left( {{x}^{2}} \right)$．
【难度】
【出处】
2018年中国科学技术大学自主招生试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
由题意可知，若 $f\left( \alpha \right)=0$，则一定 $f\left({{\alpha }^{2}} \right)=0$
则 $f\left( x \right)$ 的零点集合可能为 $\left\{0 \right\}$，$\left\{ 1 \right\}$，$\left\{0,1 \right\}$，$\left\{ -1,1 \right\}$，$\left\{w,{{w}^{2}} \right\}$，其中 $w=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\mathbf{i}$．
$f\left( x \right)={{x}^{2}}$，$f\left( x\right)={{x}^{2}}-2x+1$，$f\left( x \right)={{x}^{2}}-x$，$f\left( x\right)={{x}^{2}}-1$，$f\left( x \right)={{x}^{2}}+x+1$．
则 $f\left( x \right)$ 的零点集合可能为 $\left\{0 \right\}$，$\left\{ 1 \right\}$，$\left\{0,1 \right\}$，$\left\{ -1,1 \right\}$，$\left\{w,{{w}^{2}} \right\}$，其中 $w=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\mathbf{i}$．
$f\left( x \right)={{x}^{2}}$，$f\left( x\right)={{x}^{2}}-2x+1$，$f\left( x \right)={{x}^{2}}-x$，$f\left( x\right)={{x}^{2}}-1$，$f\left( x \right)={{x}^{2}}+x+1$．
答案
解析
备注
