$8 $ 位歌手参加艺术节，准备为他们安排 $m$ 次演出，每次由其中 $4$ 位登台表演，要求 $8$ 位歌手中任意两位同时演出的次数都一样多．请设计一种方案，使得演出的次数 $m$ 最少．
【难度】
【出处】
1996第11届CMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
设任意两位歌手都同时演出 $r $ 次，有 $\begin{aligned} 6 m=& m C_{4}^{2}=r C_{8}^{2}=28_{r} 3 m =14 r \end{aligned}$ 由此可知 $3|r$，因而 $r \geqslant 3, m \geqslant 14$．下面构造一种演出程序说明 $m =14$ 是可以实现的 $\{1,2,3,4\},\{5,6,7,8\},\{1,2,5,6\},\{3,4,7,8\},\{1,2,7,8\}$
$\{3,4,5,6\}, \{ 1,3,5,7 \},\{2,4,6,8\}, \{ 1,3,6,8 \},\{2,4,5,7\}$
$\{1,4,5,8\},\{2,3,6,7\},\{ 1,4,6,7 \},\{2,3,5,8\}$
可见，满足条件的演出的最小场次是 $14$．
$\{3,4,5,6\}, \{ 1,3,5,7 \},\{2,4,6,8\}, \{ 1,3,6,8 \},\{2,4,5,7\}$
$\{1,4,5,8\},\{2,3,6,7\},\{ 1,4,6,7 \},\{2,3,5,8\}$
可见，满足条件的演出的最小场次是 $14$．
答案
解析
备注
