设函数 $f : \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ 适合条件 $f\left(x^{3}+y^{3}\right)=(x+y)\left((f(x))^{2}-f(x) f(y)+(f(y))^{2}\right)$ ① $x,y\in\mathbf R$
试证：对一切 $x\in\mathbf R$，都有 $f(1996 x)=1996 f(x)$
试证：对一切 $x\in\mathbf R$，都有 $f(1996 x)=1996 f(x)$
【难度】
【出处】
1996第11届CMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
在 ① 中令 $x=y=0$，得到 $f(0)=0$，在 ① 中令 $y=0$，得到 $f\left(x^{3}\right)=x(f(x))^{2}, x \in \mathbf{R}$ ②
式 ② 又可改写成 $f(x)=x^{\frac{1}{2}}\left(f\left(x^{\frac{1}{3}}\right)\right)^{2}, x \in \mathbf{R}$ ② '
由此可知，函数 $f(x)$ 与 $x$ 广义同号，即当 $x\geqslant 0$ 时 $f(x) \geqslant 0$，当 $x \leqslant 0$ 时 $f(x) \leqslant 0$．
令 $S=\{a>0 | f(a x)=a f(x), x \in \mathbf{R}\}$
显然有 $1\in S$．让我们来证明：若 $a \in S,$ 则 $a^{\frac{1}{3}} \in S$．由 ② 和 $S$ 的定义有 $a x(f(x))^{2}=a f\left(x^{3}\right)=f\left(a x^{3}\right)=f\left(\left(a^{\frac{1}{3}} x\right)^{3}\right)=a^{\frac{1}{3}} x\left(f\left(a^{\frac{1}{3}} x\right)\right)^{2}$ 约去公因式，得到 $\left(a^{\frac{1}{3}} f(x)\right)^{2}=\left(f\left(a^{\frac{1}{3}} x\right)\right)^{2}$ 利用 $f(x)$ 与 $x$ 广义同号的性质可得 $f\left(a^{\frac{1}{3}} x\right)=a^{\frac{1}{3}} f(x), x \in \mathbf{R}$ ③
这表明 $a^{\frac{1}{3}} \in S$．下面来证明：若 $a,b\in S$，则 $a+b\in S$．利用 ① ~ ③，我们有 $\begin{aligned} f((a+b) x)=& f\left(\left(a^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}\right)^{3}+\left(b^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}\right)^{3}\right)=\left(a^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{1}{3}}\right) x^{\frac{1}{3}}\left(\left(f\left(a^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}\right)\right)^{2}-f\left(a^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}\right) f\left(b^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}\right)+\left(f\left(b^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}\right)\right)^{2} \right)=\\ &\left(a^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{1}{3}}\right)\left(a^{\frac{2}{3}}-a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{2}{3}}\right) x^{\frac{1}{3}} f\left(x^{\frac{1}{3}}\right)^{2}=(a+b) f(x), x \in \mathbf{R} \end{aligned}$
因为 $1\in S$，故 $1+1=2\in S$，依次类推可知任何自然数 $n$ 都属于 $S$，特别地有 $1996\in S $．所以 $f(1996 x)=1996 f(x)$
式 ② 又可改写成 $f(x)=x^{\frac{1}{2}}\left(f\left(x^{\frac{1}{3}}\right)\right)^{2}, x \in \mathbf{R}$ ② '
由此可知，函数 $f(x)$ 与 $x$ 广义同号，即当 $x\geqslant 0$ 时 $f(x) \geqslant 0$，当 $x \leqslant 0$ 时 $f(x) \leqslant 0$．
令 $S=\{a>0 | f(a x)=a f(x), x \in \mathbf{R}\}$
显然有 $1\in S$．让我们来证明：若 $a \in S,$ 则 $a^{\frac{1}{3}} \in S$．由 ② 和 $S$ 的定义有 $a x(f(x))^{2}=a f\left(x^{3}\right)=f\left(a x^{3}\right)=f\left(\left(a^{\frac{1}{3}} x\right)^{3}\right)=a^{\frac{1}{3}} x\left(f\left(a^{\frac{1}{3}} x\right)\right)^{2}$ 约去公因式，得到 $\left(a^{\frac{1}{3}} f(x)\right)^{2}=\left(f\left(a^{\frac{1}{3}} x\right)\right)^{2}$ 利用 $f(x)$ 与 $x$ 广义同号的性质可得 $f\left(a^{\frac{1}{3}} x\right)=a^{\frac{1}{3}} f(x), x \in \mathbf{R}$ ③
这表明 $a^{\frac{1}{3}} \in S$．下面来证明：若 $a,b\in S$，则 $a+b\in S$．利用 ① ~ ③，我们有 $\begin{aligned} f((a+b) x)=& f\left(\left(a^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}\right)^{3}+\left(b^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}\right)^{3}\right)=\left(a^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{1}{3}}\right) x^{\frac{1}{3}}\left(\left(f\left(a^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}\right)\right)^{2}-f\left(a^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}\right) f\left(b^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}\right)+\left(f\left(b^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}\right)\right)^{2} \right)=\\ &\left(a^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{1}{3}}\right)\left(a^{\frac{2}{3}}-a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{2}{3}}\right) x^{\frac{1}{3}} f\left(x^{\frac{1}{3}}\right)^{2}=(a+b) f(x), x \in \mathbf{R} \end{aligned}$
因为 $1\in S$，故 $1+1=2\in S$，依次类推可知任何自然数 $n$ 都属于 $S$，特别地有 $1996\in S $．所以 $f(1996 x)=1996 f(x)$
答案
解析
备注
