对任意正整数 $n$，求证 $x=0$ 是方程 $\displaystyle e^x=\sum\limits_{k=0}^n\dfrac{x^k}{k!}$ 的唯一解
【难度】
【出处】
2019年中科大创新班数学
【标注】
【答案】
略
【解析】
不妨设 $n=1$，则方程化为 $\displaystyle e^x=\sum\limits_{k=0}^1\dfrac{x^k}{k!}=\dfrac{x^0}{0!}+\dfrac{x^1}{1!}=1+x$ 即解方程 $e^x=1+x$
设 $f(x)=e^x-1-x$，那么方程 $f(x)$ 的零点即为解，那么求导得 $f(x)^\prime=e^x-1$，令 $f(x)^\prime=0$ 则 $x=0$．即 $x<0$ 时函数单调递减，$x>0$ 时函数单调递增．而 $f(0)=0$，所以函数有唯一零点，所以 $x=0$ 是方程的唯一解．
设 $f(x)=e^x-1-x$，那么方程 $f(x)$ 的零点即为解，那么求导得 $f(x)^\prime=e^x-1$，令 $f(x)^\prime=0$ 则 $x=0$．即 $x<0$ 时函数单调递减，$x>0$ 时函数单调递增．而 $f(0)=0$，所以函数有唯一零点，所以 $x=0$ 是方程的唯一解．
答案
解析
备注
