设 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 是任意凸四边形，$P$ 是型内一点，且 $P$ 到各顶点的连线与四边形过该顶点的两条边的夹角均为锐角．递推定义 $A_{k}, B_{k}, C_{k}$ 和 $D_{k}$ 分别为 $P$ 关于直线 $A_{k-1} B_{k-1},B_{k-1} C_{k-1}, C_{k-1} D_{k-1} $ 和 $ D_{k-1} A_{k-1}$ 的对称点 $(k=2,3,\cdots)$．考察四边形序列 $A_{j} B_{j} C_{j} D_{j}(j=1,2, \cdots)$．
试问：（1）前 $12$ 个四边形中，哪些必定与第 $1997$ 个相似，哪些未必？
（2）假设第 $1997$ 个是圆内接四边形，那么在前 $12$ 个四边形中，哪些必定是圆内接四边形，哪些未必？
对以上问题的回答，肯定的应给证明，未必的应举例说明．
试问：（1）前 $12$ 个四边形中，哪些必定与第 $1997$ 个相似，哪些未必？
（2）假设第 $1997$ 个是圆内接四边形，那么在前 $12$ 个四边形中，哪些必定是圆内接四边形，哪些未必？
对以上问题的回答，肯定的应给证明，未必的应举例说明．
【难度】
【出处】
1997第12届CMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
首先记 $A_{1}^{\prime}=A_{1}, B_{1}^{\prime}=B_{1}, C_{1}^{\prime}=C_{1}, D_{1}^{\prime}=D_{1}$ 约定将 $P$ 到直线 $A_{k-1}^{\prime} B_{k-1}^{\prime}, B_{k-1}^{\prime} C_{k-1}^{\prime}, C_{k-1}^{\prime} D_{k-1}^{\prime}$ 和 $D^{\prime}_{k-1} A_{k-1}^{\prime}$ 的垂足记为 $\boldsymbol{A}_{k}^{\prime}, B_{k}^{\prime}, C_{k}^{\prime}, D_{k}^{\prime}, k=2,3, \cdots$ 显然有 $A_{k}^{\prime} B_{k}^{\prime} C_{k}^{\prime} D_{k}^{\prime} \sim A_{k} B_{k} C_{k} D_{k}$ 只须对以下的四边形序列讨论相应的问题 $A_{j}^{\prime} B_{j}^{\prime} C_{j}^{\prime} D_{j}^{\prime}, j=1,2, \cdots$
分别将 $\angle D_{j}^{\prime} \boldsymbol{A}_{j}^{\prime}, \boldsymbol{P}, \angle A_{j}^{\prime} B_{j}^{\prime} P, \angle B^{\prime}, C_{j}^{\prime} P, \angle C_{j}^{\prime} D_{j}^{\prime} P$ 记为 $\alpha_{j}, \beta_{j},\gamma_{j}, \delta_{j}$；将 $\angle P A^{\prime}_{j} B_{j}^{\prime}, \angle P B_{j}^{\prime} C_{j}^{\prime}, \angle P C_{j}^{\prime} D_{j}^{\prime}, \angle P D^{\prime}_{j} A_{j}^{\prime}$ 记为 $\overline{a_{j}}, \overline{\beta}_{j}, \overline{\gamma}_{j},\overline{\delta_{j}}$．
由于 $A_{j+1}^{\prime}, B_{j+1}^{\prime}, C_{j+1}^{\prime}, D_{j+1}^{\prime}$ 是垂线足，利用由此产生的四点共圆关系可知 $\left(\alpha_{j+1}, \beta_{j+1}, \gamma_{j+1}, \delta_{j+1}\right)=\left(\alpha_{j}, \beta_{j}, \gamma_{j}, \delta_{j}\right)$
$\left(\overline{\alpha}_{j+1}, \overline{\beta}_{j+1}, \overline{\gamma}_{j+1}, \overline{\delta}_{j+1}\right)=\left(\overline{\beta}_{j}, \overline{\gamma}_{j}, \overline{\delta}_{j}, \overline{\alpha}_{j}\right)$
据此得到
$\left(\alpha_{j+4}, \beta_{j+4}, \gamma_{j+4}, \delta_{j+4}\right)=\left(\alpha_{j}, \beta_{j}, \gamma_{j}, \delta_{j}\right)$
$\left(\overline{\alpha}_{j+4}, \overline{\beta}_{j+4}, \overline{\gamma}_{j+4}, \overline{\delta}_{j+4}\right)=\left(\overline{\alpha_{j}}, \overline{\beta}_{j}, \overline{\gamma}_{j}, \overline{\delta_{j}}\right)$
因而 $A_{j+4}^{\prime} B_{j+4}^{\prime} C_{j+4}^{\prime} D_{j+4}^{\prime} \sim A_{j}^{\prime} B_{j}^{\prime} C_{j}^{\prime} D_{j}^{\prime}$（这是以 $P$ 为中心的旋转位似）．又因为 $\begin{aligned}\left(\alpha_{j+2}+\overline{\alpha}_{j+2}\right)+\left(\gamma_{j+2}+\overline{\gamma}_{j+2}\right)=& \alpha_{j}+\overline{\gamma}_{j}+\gamma_{j}+\vec{\alpha}_{j}=\left(\alpha_{j}+\overline{\alpha}_{j}\right)+\left(\gamma_{j}+\overline{\gamma}_{j}\right) \end{aligned}$ 所以四边形 $A_{j+2}^{\prime} B_{j+2}^{\prime} C_{j+2}^{\prime} D_{j+2}^{\prime}$ 与 $A_{j}^{\prime} B_{j}^{\prime} C_{j}^{\prime} D_{j}^{\prime}$ 的相应对角和相同
根据以上讨论，我们断定：
（1）在序列的前 $12$ 个四边形之中，第 $1$、第 $5$ 和第 $9$ 个四边形与序列的第 $1 997$ 个四边形相似，其余的未必（反例见后）；
（2）若第 $1997$ 个四边形为圆内接四边形，则在序列的前 $12$ 个四边形中，第 $1,3,5,7,9,11$ 这六个四边形必定是圆内接四边形，其余未必（反例见后）．
下面举例说明（1）和（2）中关于“未必＂ 的论断若四边形有一条且仅有一条对角线（称中分线）能够垂直平分另一条对角线（称被分线），则称该四边形为非平凡筝形，以下简称为筝形（相等的对角为锐角的筝形被称为＂ 胖筝形”；相等的
对角为钝角的筝形被称为＂瘦筝形”）．以一个胖筝形作为 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$，则第二、第三、第四个四边形分别为梯形、瘦筝形、梯形，第五个才又成为胖筝形．因此所产生的四边形序列以 $4$ 为最小相似周期．前 $12$ 个四边形中除了第 $1,5,9$ 外，其余的都不与第 $1 997$ 个四边形相似．
考察刚才所举例子中的序列，将该序列中的第 $2$，第 $3$，…，第 $1 998$ 个重新编号为第 $1$ 个，第 $2$ 个，…，第 $1997$ 个，作为我们的新的四边形序列．因为胖筝形不能内接于圆，所以在新四边形序列的前 $12$ 项中，只有第 $1,3,5,7,9,11$ 个四边形才是圆内接四边形，其余均不是．
分别将 $\angle D_{j}^{\prime} \boldsymbol{A}_{j}^{\prime}, \boldsymbol{P}, \angle A_{j}^{\prime} B_{j}^{\prime} P, \angle B^{\prime}, C_{j}^{\prime} P, \angle C_{j}^{\prime} D_{j}^{\prime} P$ 记为 $\alpha_{j}, \beta_{j},\gamma_{j}, \delta_{j}$；将 $\angle P A^{\prime}_{j} B_{j}^{\prime}, \angle P B_{j}^{\prime} C_{j}^{\prime}, \angle P C_{j}^{\prime} D_{j}^{\prime}, \angle P D^{\prime}_{j} A_{j}^{\prime}$ 记为 $\overline{a_{j}}, \overline{\beta}_{j}, \overline{\gamma}_{j},\overline{\delta_{j}}$．
由于 $A_{j+1}^{\prime}, B_{j+1}^{\prime}, C_{j+1}^{\prime}, D_{j+1}^{\prime}$ 是垂线足，利用由此产生的四点共圆关系可知 $\left(\alpha_{j+1}, \beta_{j+1}, \gamma_{j+1}, \delta_{j+1}\right)=\left(\alpha_{j}, \beta_{j}, \gamma_{j}, \delta_{j}\right)$
$\left(\overline{\alpha}_{j+1}, \overline{\beta}_{j+1}, \overline{\gamma}_{j+1}, \overline{\delta}_{j+1}\right)=\left(\overline{\beta}_{j}, \overline{\gamma}_{j}, \overline{\delta}_{j}, \overline{\alpha}_{j}\right)$
据此得到
$\left(\alpha_{j+4}, \beta_{j+4}, \gamma_{j+4}, \delta_{j+4}\right)=\left(\alpha_{j}, \beta_{j}, \gamma_{j}, \delta_{j}\right)$
$\left(\overline{\alpha}_{j+4}, \overline{\beta}_{j+4}, \overline{\gamma}_{j+4}, \overline{\delta}_{j+4}\right)=\left(\overline{\alpha_{j}}, \overline{\beta}_{j}, \overline{\gamma}_{j}, \overline{\delta_{j}}\right)$
因而 $A_{j+4}^{\prime} B_{j+4}^{\prime} C_{j+4}^{\prime} D_{j+4}^{\prime} \sim A_{j}^{\prime} B_{j}^{\prime} C_{j}^{\prime} D_{j}^{\prime}$（这是以 $P$ 为中心的旋转位似）．又因为 $\begin{aligned}\left(\alpha_{j+2}+\overline{\alpha}_{j+2}\right)+\left(\gamma_{j+2}+\overline{\gamma}_{j+2}\right)=& \alpha_{j}+\overline{\gamma}_{j}+\gamma_{j}+\vec{\alpha}_{j}=\left(\alpha_{j}+\overline{\alpha}_{j}\right)+\left(\gamma_{j}+\overline{\gamma}_{j}\right) \end{aligned}$ 所以四边形 $A_{j+2}^{\prime} B_{j+2}^{\prime} C_{j+2}^{\prime} D_{j+2}^{\prime}$ 与 $A_{j}^{\prime} B_{j}^{\prime} C_{j}^{\prime} D_{j}^{\prime}$ 的相应对角和相同
根据以上讨论，我们断定：
（1）在序列的前 $12$ 个四边形之中，第 $1$、第 $5$ 和第 $9$ 个四边形与序列的第 $1 997$ 个四边形相似，其余的未必（反例见后）；
（2）若第 $1997$ 个四边形为圆内接四边形，则在序列的前 $12$ 个四边形中，第 $1,3,5,7,9,11$ 这六个四边形必定是圆内接四边形，其余未必（反例见后）．
下面举例说明（1）和（2）中关于“未必＂ 的论断若四边形有一条且仅有一条对角线（称中分线）能够垂直平分另一条对角线（称被分线），则称该四边形为非平凡筝形，以下简称为筝形（相等的对角为锐角的筝形被称为＂ 胖筝形”；相等的
对角为钝角的筝形被称为＂瘦筝形”）．以一个胖筝形作为 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$，则第二、第三、第四个四边形分别为梯形、瘦筝形、梯形，第五个才又成为胖筝形．因此所产生的四边形序列以 $4$ 为最小相似周期．前 $12$ 个四边形中除了第 $1,5,9$ 外，其余的都不与第 $1 997$ 个四边形相似．
考察刚才所举例子中的序列，将该序列中的第 $2$，第 $3$，…，第 $1 998$ 个重新编号为第 $1$ 个，第 $2$ 个，…，第 $1997$ 个，作为我们的新的四边形序列．因为胖筝形不能内接于圆，所以在新四边形序列的前 $12$ 项中，只有第 $1,3,5,7,9,11$ 个四边形才是圆内接四边形，其余均不是．
答案
解析
备注
