在锐角 $\triangle ABC$ 中，$\angle C>\angle B$．点 $D$ 是边 $BC$ 上一 点，使得 $\angle ADB$ 是钝角，$H$ 是 $\triangle ABD$ 的垂心，点 $F$ 在 $ \triangle ABC $ 内部且 在 $ \triangle ABD $ 的外接圆周上．求证：点 $ F $ 是 $ \triangle ABC $ 垂心的充分必要条件是：$ HD $ 平行于 $ CF $ 且 $ H $ 在 $ \triangle ABC$ 的外接圆周上．
【难度】
【出处】
1999第14届CMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
首先指出一简单有用的事实：设在 $\triangle UVW$ 中，$\angle UVW$ 和 $\angle VWU$ 都是锐角，则点 $P$ 是 $\triangle UVW$ 的垂心 $\Rightarrow UP \bot VW$，并且 $\angle VPW =\pi - \angle VUW $ 下面利用此简单事实证明题目的结论（严格讲，应严格证明）．
（i）如果 $HD$ 平行于 $CF$，并且 $H$ 在 $\triangle ABC $ 的外接圆上，那么 $ CF\bot AB $，并且 $
\angle AFB=\angle ADB =\pi - \angle AHB =\pi - \angle ACB$ 因此，点 $F$ 是 $\triangle ABC$ 的垂心．
（ii）如果 $F$ 是 $\triangle ABC$ 的垂心，那么，显然 $HD \parallel CF$，并且 $\angle ACB =\pi - \angle AFB=\pi - \angle ADB=\angle ARB$ 因此，$A,B,C,H$ 四点共圆．
（i）如果 $HD$ 平行于 $CF$，并且 $H$ 在 $\triangle ABC $ 的外接圆上，那么 $ CF\bot AB $，并且 $
\angle AFB=\angle ADB =\pi - \angle AHB =\pi - \angle ACB$ 因此，点 $F$ 是 $\triangle ABC$ 的垂心．
（ii）如果 $F$ 是 $\triangle ABC$ 的垂心，那么，显然 $HD \parallel CF$，并且 $\angle ACB =\pi - \angle AFB=\pi - \angle ADB=\angle ARB$ 因此，$A,B,C,H$ 四点共圆．
答案
解析
备注
