求证：存在无穷多个自然数 $m$，使得可将 $1,2,…,3n$ 列成数表
$\begin{array}{llll}{a_{1}} & {a_{2}} & {\cdots} & {a_{n}} \\ {b_{1}} & {b_{2}} & {\cdots} & {b_{n}} \\ {c_{1}} & {c_{2}} & {\cdots} & {c_{n}}\end{array}$
满足如下两个条件：
（1）$a_{1}+b_{1}+c_{1}=a_{2}+b_{2}+c_{2}=\cdots=a_{n}+b_{n}+c_{n}$ 且为 $6$ 的倍数；
（2）$a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}=b_{1}+b_{2}+\cdots+b_{n}=c_{1}+c_{2}+\cdots+c_n$ 且为 $6 $ 的倍数．
$\begin{array}{llll}{a_{1}} & {a_{2}} & {\cdots} & {a_{n}} \\ {b_{1}} & {b_{2}} & {\cdots} & {b_{n}} \\ {c_{1}} & {c_{2}} & {\cdots} & {c_{n}}\end{array}$
满足如下两个条件：
（1）$a_{1}+b_{1}+c_{1}=a_{2}+b_{2}+c_{2}=\cdots=a_{n}+b_{n}+c_{n}$ 且为 $6$ 的倍数；
（2）$a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}=b_{1}+b_{2}+\cdots+b_{n}=c_{1}+c_{2}+\cdots+c_n$ 且为 $6 $ 的倍数．
【难度】
【出处】
1997第12届CMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
将满足所述两个条件的自然数 $n$ 的集合记作 $S$．设 $n \in S$，由条件（1）和（2）分别推知：存在自然数 $s$ 和 $t$ 使得
$\dfrac{3 n(3 n+1)}{2}=6 s n$
$\dfrac{3 n(3 n+1)}{2}=18 t$
即 $3 n+1=4 s,n(3 n+1)=12 t$ 所以 $n\equiv 1(\bmod 4), n \equiv 0(\bmod 3)$ 因此 $n$ 必具形式 $n=12 k+9, k=0,1,2, \cdots$ ①
证法一
可使式 ① 满足的最小自然数 $n$ 是 $9$．下证 $9\in S$ 我们有
$\left(\begin{array}{lll}{1} & {2} & {3} \\ {2} & {3} & {1} \\ {3} & {1} & {2}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{lll}{0} & {6} & {3} \\ {3} & {0} & {6} \\ {6} & {3} & {0}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{lll}{1} & {8} & {6} \\ {5} & {3} & {7} \\ {9} & {4} & {2}\end{array}\right)=A_{3}$
容易看出 $A_3$ 的 $3$ 个行之和，$3$ 个列之和都是 $15$．并且 $A_3$ 的 $9$ 个元
素分别为 $1,2,\cdots, 9$．现记 $\alpha(3)=(1,8,6), \beta(3)=(5,3,7), \gamma(3)=(9,4,2)$ 并构造 $3\times 9$ 的数表 $A_9$ 如下
$A_{9}=\left(\begin{array}{ccc}{a(3)} & {\beta(3)+18} & {\gamma(3)+8} \\ {\beta(3)+9} & {\gamma( )} & {\alpha(3)+18} \\ {\gamma(3)+18} & {\alpha(3)+9} & {\beta(3)}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccccccccc}{1} & {8} & {6} & {23} & {21} & {25} & {18} & {13} & {11} \\ {14} & {12} & {16} & {9} & {4} & {2} & {19} & {26} & {24} \\ {27} & {22} & {20} & {10} & {17} & {15} & {5} & {3} & {7}\end{array}\right)$
容易看出 $A_9$ 的 $27$ 个元素恰为 $1,2,\cdots,27$，并且
各列之和均为 $15+9+18=42 \equiv 0(\bmod 6)$；
各行之和均为 $3(15+9+18)=126 \equiv 0(\bmod 6)$．
所以 $9 \in S, S \neq \varnothing$．
假设 $m \in S$，我们来证明 $9m \in S$．
由于 $m \in S$，故可将 $1,2,\cdots,3m$ 列为 $3 \times m$ 的数表 $A_m$，使得各列之和均为 $6u$，各行之和均为 $6v$，其中 $ u,v$ 均为自然数．现将 $A_m$ 的第一行记作 $\alpha(m)$，第二行记作 $\beta(m)$，第三行记作 $\gamma(m)$，并 构造 $3 \times 3m$ 的数表 $A_{3m}$ 如下
$A_{9 m}=\left(\begin{array}{ccc}{\alpha(3 m)} & {\beta(3 m)+18 m} & {\gamma(3 m)+9 m} \\ {\beta(3 m)+9 m} & {\gamma(3 m)} & {\alpha(3 m)+18 m} \\ {\gamma(3 m)+18 m} & {\alpha(3 m)+9 m} & {\beta(3 m)}\end{array}\right)$
其中 $\beta(m)+3m$ 表示将 $\beta(m)$ 中的每一个元素都加上 $3m$，其余记
号含义类似于是不难看出，$A_{3m}$ 中的 $9m$ 个元素恰为 $1,2,\cdots,9m$，并且各列之和均为 $6u + 9m$；各行之和均为 $18v+ 9m^2$．再将 $A_{3m}$ 的第一行、第二行和第三行分别记作 $\alpha(3m)$，$\beta(3m)$ 和 $\gamma(3m)$，并构造 $3 \times 9m$ 的数表 $A_{9m}$，如下
$A_{9 m}=\left(\begin{array}{ccc}{\alpha(3 m)} & {\beta(3 m)+18 m} & {\gamma(3 m)+9 m} \\ {\beta(3 m)+9 m} & {\gamma(3 m)} & {\alpha(3 m)+18 m} \\ {\gamma(3 m)+18 m} & {\alpha(3 m)+9 m} & {\beta(3 m)}\end{array}\right)$
不难看出 $A_{9m}$ 的 $27m$ 个元素恰为 $1,2,\cdots,27m$，并且各列之和均为 $6u + 36m$ 且为 $6$ 的倍数；各行之和均为 $3\left(18 v+9 m^{2}\right)+3 m \cdot 18 m+3 m \cdot 9 m=54 v+108 m^{2} \equiv 0(\bmod 6)$ 这就证得：只要 $m\in S$，则必 $9m\in S$．
综合上述，知 $S \supset\left\{9^{k} | k=1,2, \cdots\right\rfloor$，所以 $S$ 为无穷集合．
证法二
我们来证明
$A_{m}=\left(\begin{array}{ccccc}{1} & {4} & {7} & {10} & {\dots} \\ {6 k+5} & {12 k+8} & {6 k+2} & {12 k+5} & {\dots} \\ {12 k+9} & {6 k+3} & {12 k+6} & {6 k} & {\dots}\end{array}\right)$
不难看出，$A_m$ 的各列之和相等，均为 $18k+15$；$A_m$ 的第二行之和为 $(4 k+3)(6 k+5)=\dfrac{m(3 m+1)}{2}$；第一行之和为 $(4 k+3)(6 k+4)$；第三行之和为 $(4 k+3)(6 k+6)$．下面来调整 $A_m$，使 $3$ 个行之和相等．
由于 $k \equiv 2(\bmod 9)$，所以 $l=\dfrac{1}{9}(2 k+5)$ 为正整数．容易看出 $A_m$ 的第一行是公差 $d_1 = 3$，首项 $a_1 = 1$ 的等差数列，所以其第 $2l$ 项为 $a_{2 l}=1+3(2 l-1)=6 l-2=\dfrac{4}{3}(k+1)$
$A_m$ 的第三行中，$c_{2}, c_{4}, \cdots, c_{m-1}$ 构成公差 $d_3 = -3$，首项 $C_2 = 6k +3$ 的等差数列，所以 $\begin{aligned} c_{2 l}=& 6 k+3-3(l-1)=6 k+6-\dfrac{1}{3}(2 k+5)= \dfrac{1}{3}(16 k+13) \end{aligned}$ 易见 $c_{2 l}-a_{2 l}=\dfrac{1}{3}(12 k+9)=4 k+3$ 因此只要在 $A_m$ 中对换 $a_{2l}$ 与 $c_{2l}$ 的位置，便可使其三个行之和全都相等，都为 $(4 k+3)(6 k+5)=\dfrac{m(3 m+1)}{2}$ 并且各列之和保持不变，即都是 $18k+ 15$．
现将经过上述对换后的数表记为 $B_m$ 并将 $B_m$ 的第一行记为 $\alpha(m)$，第二行记为 $\beta(m)$，第三行记为 $\gamma(m)$ 再构造 $3 \times 3m = 3 \times(12k + 9)$ 的数表 $A_{3m}$ 如下
$A_{3 m}=\left(\begin{array}{ccc}{\alpha(m)} & {\beta(m)+6 m} & {\gamma(m)+3 m} \\ {\beta(m)+3 m} & {\gamma(m)} & {\alpha(m)+6 m} \\ {\gamma(m)+6 m} & {\alpha(m)+3 m} & {\beta(m)}\end{array}\right)$ 于是，不难看出，$A_{3m}$ 的所有元素恰为 $1,2,\cdots, 12k + 9$，其各列之和，各行之和分别相等，且
列和 $=18 k+15+9 m=54 k+42 \equiv 0(\bmod 6)$；行和 $\begin{aligned}=& \frac{3}{2} m(3 m+1)+6 m^{2}+3 m^{2}= 3(4 k+3)(6 k+5)+9(4 k+3)^{2}= 6(4 k+3)(9 k+7) \end{aligned}$．$S \supset|12 k+9| k \equiv 2(\bmod 9) \}$
设 $k \equiv 2(\bmod 9)$，记 $m=4 k+3$，我们先将 $1,2,\cdots,3m$ 列成如下的 $3 \times m$ 数表 $A_m$
$A_{m}=\left(\begin{array}{cccc}{12 k-2} & {12 k+1} & {12 k+4} & {12 k+7} \\ {6 k+11} & {5} & {6 k+8} & {2} \\ {6} & {6 k+9} & {3} & {6 k+6}\end{array}\right)$
都是 $6$ 的倍数．这就表明，只要 $k=2(\bmod 9)$，则 $12 k+9 \in S$ 所以，$S \supset\{12 k+9 | k \equiv 2(\bmod 9)\}$ 为无限集．
$\dfrac{3 n(3 n+1)}{2}=6 s n$
$\dfrac{3 n(3 n+1)}{2}=18 t$
即 $3 n+1=4 s,n(3 n+1)=12 t$ 所以 $n\equiv 1(\bmod 4), n \equiv 0(\bmod 3)$ 因此 $n$ 必具形式 $n=12 k+9, k=0,1,2, \cdots$ ①
证法一
可使式 ① 满足的最小自然数 $n$ 是 $9$．下证 $9\in S$ 我们有
$\left(\begin{array}{lll}{1} & {2} & {3} \\ {2} & {3} & {1} \\ {3} & {1} & {2}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{lll}{0} & {6} & {3} \\ {3} & {0} & {6} \\ {6} & {3} & {0}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{lll}{1} & {8} & {6} \\ {5} & {3} & {7} \\ {9} & {4} & {2}\end{array}\right)=A_{3}$
容易看出 $A_3$ 的 $3$ 个行之和，$3$ 个列之和都是 $15$．并且 $A_3$ 的 $9$ 个元
素分别为 $1,2,\cdots, 9$．现记 $\alpha(3)=(1,8,6), \beta(3)=(5,3,7), \gamma(3)=(9,4,2)$ 并构造 $3\times 9$ 的数表 $A_9$ 如下
$A_{9}=\left(\begin{array}{ccc}{a(3)} & {\beta(3)+18} & {\gamma(3)+8} \\ {\beta(3)+9} & {\gamma( )} & {\alpha(3)+18} \\ {\gamma(3)+18} & {\alpha(3)+9} & {\beta(3)}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccccccccc}{1} & {8} & {6} & {23} & {21} & {25} & {18} & {13} & {11} \\ {14} & {12} & {16} & {9} & {4} & {2} & {19} & {26} & {24} \\ {27} & {22} & {20} & {10} & {17} & {15} & {5} & {3} & {7}\end{array}\right)$
容易看出 $A_9$ 的 $27$ 个元素恰为 $1,2,\cdots,27$，并且
各列之和均为 $15+9+18=42 \equiv 0(\bmod 6)$；
各行之和均为 $3(15+9+18)=126 \equiv 0(\bmod 6)$．
所以 $9 \in S, S \neq \varnothing$．
假设 $m \in S$，我们来证明 $9m \in S$．
由于 $m \in S$，故可将 $1,2,\cdots,3m$ 列为 $3 \times m$ 的数表 $A_m$，使得各列之和均为 $6u$，各行之和均为 $6v$，其中 $ u,v$ 均为自然数．现将 $A_m$ 的第一行记作 $\alpha(m)$，第二行记作 $\beta(m)$，第三行记作 $\gamma(m)$，并 构造 $3 \times 3m$ 的数表 $A_{3m}$ 如下
$A_{9 m}=\left(\begin{array}{ccc}{\alpha(3 m)} & {\beta(3 m)+18 m} & {\gamma(3 m)+9 m} \\ {\beta(3 m)+9 m} & {\gamma(3 m)} & {\alpha(3 m)+18 m} \\ {\gamma(3 m)+18 m} & {\alpha(3 m)+9 m} & {\beta(3 m)}\end{array}\right)$
其中 $\beta(m)+3m$ 表示将 $\beta(m)$ 中的每一个元素都加上 $3m$，其余记
号含义类似于是不难看出，$A_{3m}$ 中的 $9m$ 个元素恰为 $1,2,\cdots,9m$，并且各列之和均为 $6u + 9m$；各行之和均为 $18v+ 9m^2$．再将 $A_{3m}$ 的第一行、第二行和第三行分别记作 $\alpha(3m)$，$\beta(3m)$ 和 $\gamma(3m)$，并构造 $3 \times 9m$ 的数表 $A_{9m}$，如下
$A_{9 m}=\left(\begin{array}{ccc}{\alpha(3 m)} & {\beta(3 m)+18 m} & {\gamma(3 m)+9 m} \\ {\beta(3 m)+9 m} & {\gamma(3 m)} & {\alpha(3 m)+18 m} \\ {\gamma(3 m)+18 m} & {\alpha(3 m)+9 m} & {\beta(3 m)}\end{array}\right)$
不难看出 $A_{9m}$ 的 $27m$ 个元素恰为 $1,2,\cdots,27m$，并且各列之和均为 $6u + 36m$ 且为 $6$ 的倍数；各行之和均为 $3\left(18 v+9 m^{2}\right)+3 m \cdot 18 m+3 m \cdot 9 m=54 v+108 m^{2} \equiv 0(\bmod 6)$ 这就证得：只要 $m\in S$，则必 $9m\in S$．
综合上述，知 $S \supset\left\{9^{k} | k=1,2, \cdots\right\rfloor$，所以 $S$ 为无穷集合．
证法二
我们来证明
$A_{m}=\left(\begin{array}{ccccc}{1} & {4} & {7} & {10} & {\dots} \\ {6 k+5} & {12 k+8} & {6 k+2} & {12 k+5} & {\dots} \\ {12 k+9} & {6 k+3} & {12 k+6} & {6 k} & {\dots}\end{array}\right)$
不难看出，$A_m$ 的各列之和相等，均为 $18k+15$；$A_m$ 的第二行之和为 $(4 k+3)(6 k+5)=\dfrac{m(3 m+1)}{2}$；第一行之和为 $(4 k+3)(6 k+4)$；第三行之和为 $(4 k+3)(6 k+6)$．下面来调整 $A_m$，使 $3$ 个行之和相等．
由于 $k \equiv 2(\bmod 9)$，所以 $l=\dfrac{1}{9}(2 k+5)$ 为正整数．容易看出 $A_m$ 的第一行是公差 $d_1 = 3$，首项 $a_1 = 1$ 的等差数列，所以其第 $2l$ 项为 $a_{2 l}=1+3(2 l-1)=6 l-2=\dfrac{4}{3}(k+1)$
$A_m$ 的第三行中，$c_{2}, c_{4}, \cdots, c_{m-1}$ 构成公差 $d_3 = -3$，首项 $C_2 = 6k +3$ 的等差数列，所以 $\begin{aligned} c_{2 l}=& 6 k+3-3(l-1)=6 k+6-\dfrac{1}{3}(2 k+5)= \dfrac{1}{3}(16 k+13) \end{aligned}$ 易见 $c_{2 l}-a_{2 l}=\dfrac{1}{3}(12 k+9)=4 k+3$ 因此只要在 $A_m$ 中对换 $a_{2l}$ 与 $c_{2l}$ 的位置，便可使其三个行之和全都相等，都为 $(4 k+3)(6 k+5)=\dfrac{m(3 m+1)}{2}$ 并且各列之和保持不变，即都是 $18k+ 15$．
现将经过上述对换后的数表记为 $B_m$ 并将 $B_m$ 的第一行记为 $\alpha(m)$，第二行记为 $\beta(m)$，第三行记为 $\gamma(m)$ 再构造 $3 \times 3m = 3 \times(12k + 9)$ 的数表 $A_{3m}$ 如下
$A_{3 m}=\left(\begin{array}{ccc}{\alpha(m)} & {\beta(m)+6 m} & {\gamma(m)+3 m} \\ {\beta(m)+3 m} & {\gamma(m)} & {\alpha(m)+6 m} \\ {\gamma(m)+6 m} & {\alpha(m)+3 m} & {\beta(m)}\end{array}\right)$ 于是，不难看出，$A_{3m}$ 的所有元素恰为 $1,2,\cdots, 12k + 9$，其各列之和，各行之和分别相等，且
列和 $=18 k+15+9 m=54 k+42 \equiv 0(\bmod 6)$；行和 $\begin{aligned}=& \frac{3}{2} m(3 m+1)+6 m^{2}+3 m^{2}= 3(4 k+3)(6 k+5)+9(4 k+3)^{2}= 6(4 k+3)(9 k+7) \end{aligned}$．$S \supset|12 k+9| k \equiv 2(\bmod 9) \}$
设 $k \equiv 2(\bmod 9)$，记 $m=4 k+3$，我们先将 $1,2,\cdots,3m$ 列成如下的 $3 \times m$ 数表 $A_m$
$A_{m}=\left(\begin{array}{cccc}{12 k-2} & {12 k+1} & {12 k+4} & {12 k+7} \\ {6 k+11} & {5} & {6 k+8} & {2} \\ {6} & {6 k+9} & {3} & {6 k+6}\end{array}\right)$
都是 $6$ 的倍数．这就表明，只要 $k=2(\bmod 9)$，则 $12 k+9 \in S$ 所以，$S \supset\{12 k+9 | k \equiv 2(\bmod 9)\}$ 为无限集．
答案
解析
备注
