求满足 $\dfrac{1}{\sin 45{}^\circ \sin 46{}^\circ }+\dfrac{1}{\sin 47{}^\circ \sin 48{}^\circ }+\cdots +\dfrac{1}{\sin 133{}^\circ \sin 134{}^\circ }=\dfrac{1}{\sin n{}^\circ }$ 的最小正整数 $n$．
【难度】
【出处】
2000年第18届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
1
【解析】
注意到对于正整数 $a$，有
$\frac{\sin1{}^\circ }{\sin 45{}^\circ \sin 46{}^\circ }+\frac{1}{\sin 47{}^\circ \sin48{}^\circ }+\cdots +\frac{1}{\sin 133{}^\circ \sin 134{}^\circ }$
$=\frac{1}{\sin45{}^\circ \sin 46{}^\circ }+\frac{1}{\sin 46{}^\circ \sin 47{}^\circ }+\cdots+\frac{1}{\sin 89{}^\circ \sin 90{}^\circ }$
$\displaystyle =\frac{1}{\sin1{}^\circ }\sum\limits_{a=45}^{89}{\left( \cot a{}^\circ -\cot \left( a+1\right){}^\circ \right)}$
$=\frac{1}{\sin1{}^\circ }\left( \cot 45{}^\circ -\cot 90{}^\circ \right)$
$=\frac{1}{\sin1{}^\circ }$．
因此所求的 $n$ 为1．
$\frac{\sin1{}^\circ }{\sin 45{}^\circ \sin 46{}^\circ }+\frac{1}{\sin 47{}^\circ \sin48{}^\circ }+\cdots +\frac{1}{\sin 133{}^\circ \sin 134{}^\circ }$
$=\frac{1}{\sin45{}^\circ \sin 46{}^\circ }+\frac{1}{\sin 46{}^\circ \sin 47{}^\circ }+\cdots+\frac{1}{\sin 89{}^\circ \sin 90{}^\circ }$
$\displaystyle =\frac{1}{\sin1{}^\circ }\sum\limits_{a=45}^{89}{\left( \cot a{}^\circ -\cot \left( a+1\right){}^\circ \right)}$
$=\frac{1}{\sin1{}^\circ }\left( \cot 45{}^\circ -\cot 90{}^\circ \right)$
$=\frac{1}{\sin1{}^\circ }$．
因此所求的 $n$ 为1．
答案
解析
备注
