对于给定的大于 $1$ 的正整数 $ n$，是否存在 $2n$ 个两两不同的正整数 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}, b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{n}$，同时满足以下两个条件：
（1）$a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}=b_{1}+b_{2}+\cdots+b_{n}$；
（2）$\displaystyle n-1>\sum\limits_{i=1}^{n} \dfrac{a_{i}-b_{i}}{a_{i}+b_{i}}>n-1-\dfrac{1}{1998}$．
请说明理由
（1）$a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}=b_{1}+b_{2}+\cdots+b_{n}$；
（2）$\displaystyle n-1>\sum\limits_{i=1}^{n} \dfrac{a_{i}-b_{i}}{a_{i}+b_{i}}>n-1-\dfrac{1}{1998}$．
请说明理由
【难度】
【出处】
1998第13届CMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
存在符合命题要求的 $2n$ 个数．令 $a_{i}=2 M_{i}, b_{i}=2 i(i=1,2,3, \cdots, n-1$；$M$ 为大于或等于 $8000n$ 的正整数）．$a_{n}=(M-1)^{2} n(n-1), b_{n}=M(M-1) n(n-1)$ 显然，上述 $2n$ 个数两两不同，且 $a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}=b_{1}+b_{2}+\cdots+b_{n}=n(n-1)\left(M^{2}-M+1\right)$ 另一方面，我们有
$\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{n} \dfrac{a_{i}-b_{i}}{a_{i}+b_{i}}=(n-1) \dfrac{M-1}{M+1}-\dfrac{1}{2 M-1}<n-1$
$\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{n} \dfrac{a_{i}-b_{i}}{a_{i}+b_{i}}=(n-1)-\dfrac{2(n-1)}{M+1}-\dfrac{1}{2 M-1}>n-1-\dfrac{2(n-1)}{8} \dfrac{(n-1)}{8000 n}-\dfrac{1}{8000}>n-1-\dfrac{2(n-1)}{8000 n}-\dfrac{1}{8000}>n-1-\dfrac{1}{1998}$
因此，上述所给的 $2n$ 个数符合命题要求．
$\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{n} \dfrac{a_{i}-b_{i}}{a_{i}+b_{i}}=(n-1) \dfrac{M-1}{M+1}-\dfrac{1}{2 M-1}<n-1$
$\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{n} \dfrac{a_{i}-b_{i}}{a_{i}+b_{i}}=(n-1)-\dfrac{2(n-1)}{M+1}-\dfrac{1}{2 M-1}>n-1-\dfrac{2(n-1)}{8} \dfrac{(n-1)}{8000 n}-\dfrac{1}{8000}>n-1-\dfrac{2(n-1)}{8000 n}-\dfrac{1}{8000}>n-1-\dfrac{1}{1998}$
因此，上述所给的 $2n$ 个数符合命题要求．
答案
解析
备注
