设 $S$ 是复平面上的单位圆周（即模等于 $1$ 的复数的集合），$f$ 是从 $S$ 到 $S$ 的映射，对于任何 $z \in S$，定义 $f^{(1)}(z)=f(z), f^{(2)}(z)=f(f(z)), \cdots,, f^{(k)}(z)=\underbrace{f(f(\cdots(f}_{k个f}(z)))),\cdots$ 如果 $c \in S$ 及自然数 $n$ 使得 $f^{(1)}(c) \neq c, f^{(2)}(c) \neq c, \cdots, f^{(n-1)}(c) \neq c, f^{(n)}(c)=c$ 我们就说 $c$ 是 $f$ 的 $n$ -周期点．设 $m$ 是大于 $1$ 的自然数，$f$ 的定义如下 $f(z)=z^{m}, z \in S$ 试计算 $f$ 的 $1989$ -周期点的总数．
【难度】
【出处】
1989第4届CMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
由 $f(z)=z^m$，用归纳法易知 $f^{(n)}(z)=z^{m^{n}}(n=1,2,3,\cdots)$．对于自然数 $n$，记 $B_{n}=\left\{z \in S | f^{(n)}(z)=z\right\}$．由于 $B_n$ 是 $1$ 的 $m^n-1$ 次根的全体所成之集，所以 $\left|B_{n}\right|=m^{n}-1$（$|B|$ 表示集合 $B$ 中元素的个数）．对于自然数 $k$ 及 $z \in B_{k}$，易见对于自然数 $r$ $f^{(n)}(z)=f^{((r-1) r)}\left(f^{(k)}(z)\right)=f^{((r-1) k)}(z)=\cdots=f^{(k)}(z)=z$ 所以当 $k,n$ 为自然数且 $k | n$ 时，$B_{k} \subset B_{n}$．又如果 $k,n$ 为自然数，$n=r k+j(1 \leqslant j \leqslant k-1)$，且 $z \in B_{k}$，有 $f^{(n)}(z)=f^{(j)}\left(f^{(r k)}(z)\right)=f^{(j)}(z)$ 所以，如果 $z \in B_{k} \cap B_{n}$，则由上式得 $z \in B_{j}$．用辗转相除法，即知 $B_{k} \cap B_{n} \subset B_{(k, n)}$（$(k, n)$ 表示 $k$ 和 $n$ 的最大公约数）．把上面的结论合并起来，即得 $B_{k} \cap B_{n}=B_{(k, n)}$ ① 由定义，{ $f$ 的 $1989$ -周期点全体} $=B_{1989} \backslash\left(\bigcup\limits_{k=1}^{1989} B_{k}\right)$．因此，它等于 $B_{1989} \backslash\left(\bigcup\limits_{k=1}^{1988}\left(B_{1989} \cap B_{k}\right)\right)=B_{1989} \backslash\left(U_{B_{t}}\right)$（此处 $t \in T=\{t | t$ 整除 $1989, t<1989 \}$）由于 $1989=3^{2} \cdot 221=3^{2} \cdot 13 \cdot 17,1989$ 的真约数必是 $663(=3 \cdot 13 \cdot 17), 153\left(=3^{2} \cdot 17\right), 117\left(=3^{2} \cdot 13\right)$ 这三个数中（至少）一个约数，所以{ $f$ 的 $1989$ -周期点全体} $=B_{1989} \backslash\left(B_{663} \cup B_{153} \cup B_{117}\right)$ 由容斥原理 $\left|B_{663} \cup B_{133} \cup B_{117}\right|=\left|B_{663}\right|+\left|B_{133}\right|+\left|B_{11}\right|-\left|B_{663} \cap B_{133}\right|-\left|B_{663} \cap B_{117}\right|-\left|B_{153} \cap B_{117}\right|+| B_{663} \cap B_{153} \cap B_{117}\\=\left|B_{663}\right|+\left|B_{153}\right|+\left|B_{117}-\right|-\left|B_{51}\right|-\left|B_{39}\right|-\left|B_{9}\right|+\left|B_{3}\right|$ 于是，$f$ 的 $1989$ -周期点的总数为 $m^{1989}-m^{663}-m^{153}-m^{117}+m^{51}+m^{39}+m^{9}-m^{3}$ ②
答案
解析
备注
