$f$ 是定义在 $(1,+\infty)$ 上且在 $(1,+\infty)$ 中取值的函数，满足条件：对任何 $x, y>1$ 及 $u, v>0$，都成立 $f\left(x^{u} y^{y}\right) \leqslant f(x)^{\frac{1}{4 u}} f(y)^{\frac{1}{4 v}}$ 试确定所有这样的函数 $f$．
【难度】
【出处】
1989第4届CMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
设 $f$ 是满足题中条件的函数，特别取 $u=\dfrac{1}{2}$，得 $f\left(x^{\tfrac{1}{2}} y^{v}\right) \leqslant f(x)^{\tfrac{1}{2}} f(y)^{\tfrac{1}{4 v}}, x, y>1, v>0$ 对于 $x,y>1$，取 $v$ 使 $y^{v}=x^{\tfrac{1}{2}}$，即 $u=\dfrac{1}{2} \dfrac{\ln x}{\ln y}$（这样的 $v$ 是正数），从而对于 $x,y>1$，都成立 $f(x) \leqslant f(x)^{\tfrac{1}{2}} f(y)^{\tfrac{\ln y}{2 \ln x}},\quad f(x)^{\tfrac{1}{2}} \leqslant f(y)^{\tfrac{1 n y}{2 \ln x}},\quad f(x)^{\ln x} \leqslant f(y)^{\ln y}$ 由对称性，$f(x)^{\ln x}=f(y)^{\ln y}$，因此 $f(x)^{\ln x}$ 是个常数 $c(c>1)$，从而 $f(x)=c^{\tfrac{1}{\ln x}}$ 下面验证当 $c>1$ 时，函数 $f(x)=c^{\tfrac{1}{\ln x}}$ 确实满足题中条件，对于 $x, y>1, u, v>0$，由于 $f\left(x^{u} y^{v}\right)=c^{1 / \ln x^{u} y^{v}}=c^{\tfrac{1}{u \ln x+v \ln y}}$ 既要验证 $c^{ \tfrac{1}{c u \ln x+v \ln y}} \leqslant c^{\tfrac{1}{4 u \ln x}} \cdot c^{\tfrac{1}{4 v \ln y}}=c^{ \tfrac{1}{4 u \ln z}+\tfrac{1}{4 v \ln y}}$ 由 $c>1$，上面的不等式等价于 $\dfrac{1}{u \ln x+v \ln y} \leqslant \dfrac{1}{4 u \ln x}+\dfrac{1}{4 v \ln y}$ 稍做代数运算，这个不等式等价于 $4 u v \ln x \ln y \leqslant(u \ln x+v \ln y)^{2}$ 但最后这个不等式是确实成立的．由上所述，满足题中条件的函数是 $f(x)=c^{\tfrac{1}{\ln x}}$，其中 $c$ 是任何大于 $1$ 的实数．
答案
解析
备注
