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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
27368 590ac3fd6cddca0008610e42 高中 解答题 高中习题 给定 $n$ 个正整数，考虑由这 $n$ 个正整数中的一个或多个相加得到的所有的和．求证：这些和可以分成 $n$ 组，且每一组中最大数与最小数之比不大于 $2$． 2022-04-17 21:33:03
24318 59642841cbc4720008a498dc 高中 解答题 高中习题 若存在集合 $A$，$B$ 满足：$A\cap B=\varnothing $，且 $A\cup B=\mathbb N^*$，则称 $(A,B)$ 为 $\mathbb N^*$ 的一个二分划． 2022-04-17 20:36:35
24190 59804f873ccefb00089169f8 高中 解答题 自招竞赛 对于 $2n$ 元集合 $M=\{1,2,\cdots,2n\}$，若 $n$ 元集 $A=\{a_{1},a_{2},\cdots, a_{n}\}$，$B=\{b_{1},b_{2},\cdots,b_{n}\}$ 满足：$A\cup B=M,A\cap B=\varnothing $，且 $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{n}a_{k}=\sum\limits_{k=1}^{n}b_{k}$，则称 $A\cap B$ 是集合 $M$ 的一个“等和划分”（$A\cup B$ 与 $B\cup A$ 算是同一个划分）．试确定集合 $M=\{1,2,3\cdots,12\}$ 共有多少个“等和划分”． 2022-04-17 20:25:34
24121 59ba35d398483e0009c7314c 高中 解答题 高中习题 一列正整数 $a_1,a_2,\cdots,a_n,\cdots$ 满足每个数都能整除之后的数，即 $a_n\mid a_{n+1}$，则它们模 $30$ 的余数最多可能有多少种不同的取值？ 2022-04-17 20:48:33
23986 599fdedb3020170007bcf996 高中 解答题 自招竞赛 定义 $f_M(x)=\begin{cases}-1,&x\in M,\\ 1, & x\notin M,\end{cases}$ 且 $M\Delta N=\{x\mid f_M(x)\cdot f_N(x)=-1\}$．集合 $A=\{x \mid x=k,k\in\mathbb N,1\leqslant k\leqslant 2016\}$，集合 $B=\{x\mid x=2k,k\in\mathbb N,1\leqslant k\leqslant 2016\}$． 2022-04-17 20:33:32
23806 590abf166cddca00092f6f7c 高中 解答题 高中习题 若集合 $B$ 是集合 $A=\{1,2,3,\cdots ,23\}$ 的 $12$ 元子集，且存在 $a,b\in B$，$b<a$，$b\mid a$，则称 $B$ 为"和谐集"．求最大的 $m\in A$，使包含 $m$ 的集合 $A$ 的有 $12$ 个元素的任意子集为"和谐集"． 2022-04-17 20:59:30
23062 590c23dc857b42000aca37ea 高中 解答题 自招竞赛 若存在集合 $A,B$ 满足：$A\cap B=\varnothing$，且 $A\cup B=\mathbb N^*$，则称 $(A,B)$ 为 $\mathbb N^*$ 的一个二分划． 2022-04-17 20:05:24
22493 5927894474a309000ad0ce76 高中 解答题 高中习题 设 $f(x)$ 是定义在 $[0,1]$ 上的函数，若存在 $x^{*}\in(0,1)$ 使得 $f(x)$ 在 $[0,x^{*}]$ 上单调递增，在 $[x^{*},1]$ 上单调递减，则称 $f(x)$ 为 $[0,1]$ 上的单峰函数，$x^{*}$ 为峰点，包含峰点的区间为含峰区间．对任意的 $[0,1]$ 上的单峰函数 $f(x)$，下面研究缩短其含峰区间长度的方法． 2022-04-17 20:43:18
21338 5966f1de030398000abf1531 高中 解答题 自招竞赛 试确定，有多少种不同的方法将集合 $M=\{1,2,3,4,5\}$ 中的元素归入 $A,B,C$ 三个（有序）集合，使得满足：每个元素至少含于其中一个集合之中，这三个集合的交集是空集，而其中任两个集合的交都不是空集？（即 $A\cup B\cup C=M$，$A\cap B\cap C=\varnothing$，而 $A\cap B\ne \varnothing$，$B\cap C\ne\varnothing$，$C\cap A\ne\varnothing$） 2022-04-17 20:04:08
21335 59687a6022d140000ac07ede 高中 解答题 自招竞赛 已知集合 $P$ 是由不超过 $2012$ 的正整数组成的集合，即 $P=\{1,2,3,\cdots,2012\}$．集合 $A$ 是集合 $P$ 的子集，符号 $|A|$ 表示集合 $A$ 中元素的个数，$S(A)$ 表示集合 $A$ 中所有元素的和． 2022-04-17 20:03:08
15445 5975b0306b07450008983689 高中 解答题 自招竞赛 对于 $2n$ 元集合 $M=\{1,2,\cdots,2n\}$，若 $n$ 元集 $A=\{a_{1},a_{2},\cdots, a_{n}\}$，$B=\{b_{1},b_{2},\cdots,b_{n}\}$ 满足：$A\cup B=M,A\cap B=\varnothing $，且 $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{n}a_{k}=\sum\limits_{k=1}^{n}b_{k}$，则称 $A\cap B$ 是集合 $M$ 的一个“等和划分”（$A\cup B$ 与 $B\cup A$ 算是同一个划分）．试确定集合 $M=\{1,2,3\cdots,12\}$ 共有多少个“等和划分”． 2022-04-17 19:45:13
11685 590a90e36cddca00092f6ec3 高中 填空题 自招竞赛 用 $S(A)$ 表示集合 $A$ 的所有元素之和，且 $A\subseteq \{1,2,3,4,5,6,7,8\}$，$S(A)$ 能被 $3$ 整除，但不能被 $5$ 整除，则符合条件的非空集合 $A$ 的个数是  ． 2022-04-16 22:19:33
11677 590be0066cddca0008611031 高中 填空题 自招竞赛 已知非空集合 $A,B$ 满足 $A\cup B=\left\{1,2,3,\cdots,8\right\}$，$A\cap B=\varnothing$．若 $A$ 中元素的个数不是 $A$ 中的元素，$B$ 中元素的个数不是 $B$ 中的元素，则满足条件的所有不同的集合 $A$ 的个数为 ． 2022-04-16 22:14:33
11603 596c7e4222d14000081817ca 高中 填空题 自招竞赛 集合的容量是指集合中元素的和，则满足条件“$A \subseteq \{1,2,3,4,5,6,7\}$，且当 $a\in A$ 时，必有 $8-a \in A$”的所有非空集合 $A$ 的容量的总和是 ．（用具体数字作答） 2022-04-16 22:34:32
11519 59bb392477c760000717e334 高中 填空题 自招竞赛 若集合 $\{1,2,3,\cdots ,2014\}$ 的某些子集满足条件：没有一个数是另一个数的 $2$ 倍，则这样的子集中所含元素的个数最多是 ． 2022-04-16 22:51:31
11267 5a619f11a6c64d000894c1bd 高中 填空题 高中习题 已知 $n$ 是正整数且 $n\geqslant 3$，非空集合 $A,B$ 满足 $A\cup B=\{x\mid 1\leqslant x\leqslant n,x\in\mathbb N^{\ast}\}$，$A\cap B=\varnothing$．若 $A$ 中元素的个数不是 $A$ 中的元素，$B$ 中元素的个数不是 $B$ 中的元素，则满足条件的所有不同的集合 $A$ 的个数为 ． 2022-04-16 22:32:29
10683 59126600e020e700094b0a75 高中 填空题 自招竞赛 把有 $n$ 个元素的集合分为两部分，空集除外，有  种分法． 2022-04-16 22:38:20
10178 5966f1de030398000abf152e 高中 填空题 自招竞赛 集合 $A$ 是集合 $M=\{1,2,3,\cdots,2012\}$ 的 $20$ 元子集，且 $A$ 中的任两个元素之差为 $12$ 的倍数，则这种子集 $A$ 的个数是  ． 2022-04-16 22:56:15
10092 59633d423cafba0009670e65 高中 填空题 自招竞赛 设 $A,B$ 是两个集合，称 $(A,B)$ 为一个“对子”．当 $A\ne B$ 时，将 $(A,B)$ 与 $(B,A)$ 视为不同的“对子”．满足条件 $A\cup B=\{1,2,3,4\}$ 的不同的对子 $(A,B)$ 的个数为 ． 2022-04-16 22:10:15
9817 597e87ded05b90000c805750 高中 填空题 高中习题 从 $1,2,\cdots,2012$ 中选出 $n$ 个数，使得其中任意两个数的差都不能整除这两个数的和，则 $n$ 的最大值为 ． 2022-04-16 22:35:12
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